Страница 66 номер 7.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = 0{,}2x + 3\); 2) \(y = \frac{1}{x - 1}\); 3) \(y = \frac{4}{x + 2}\).
1) \(y = 0{,}2x + 3\) возрастает, значит, обратима; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
\(0{,}2x = y - 3\); \(x = \frac{y - 3}{0{,}2} = 5(y - 3)\). Обратная функция — \(y = 5(x - 3)\).
2) \(y = \frac{1}{x - 1}\): \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \{1\}\), \(E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\); уравнение \(\frac{1}{x - 1} = y_0\) при каждом \(y_0 \ne 0\) имеет единственный корень, поэтому функция обратима.
\(x - 1 = \frac{1}{y}\); \(x = \frac{1}{y} + 1 = \frac{1 + y}{y}\). Обратная функция — \(y = \frac{x + 1}{x}\).
3) \(y = \frac{4}{x + 2}\): \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \{-2\}\), \(E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\); функция обратима.
\(x + 2 = \frac{4}{y}\); \(x = \frac{4}{y} - 2 = \frac{4 - 2y}{y}\). Обратная функция — \(y = \frac{4 - 2x}{x}\).
Ответ: 1) \(y = 5(x - 3)\); 2) \(y = \frac{x + 1}{x}\); 3) \(y = \frac{4 - 2x}{x}\).
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = 0{,}2x + 3\); 2) \(y = \frac{1}{x - 1}\); 3) \(y = \frac{4}{x + 2}\).
1) \(y = 0{,}2x + 3\). Функция возрастающая, значит, обратимая; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
Выразим \(x\) через \(y\): \(0{,}2x = y - 3\); \(x = \frac{y - 3}{0{,}2} = 5(y - 3)\).
Обозначая аргумент буквой \(x\), а зависимую переменную буквой \(y\), получаем обратную функцию \(y = 5(x - 3)\).
2) \(y = \frac{1}{x - 1}\). Здесь \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \{1\}\), \(E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\). Для каждого \(y_0 \ne 0\) уравнение \(\frac{1}{x - 1} = y_0\) имеет единственный корень, поэтому функция обратима.
Выразим \(x\) через \(y\): \(x - 1 = \frac{1}{y}\); \(x = \frac{1}{y} + 1 = \frac{1 + y}{y}\).
Обратная функция — \(y = \frac{x + 1}{x}\).
3) \(y = \frac{4}{x + 2}\). Здесь \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \{-2\}\), \(E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\). Для каждого \(y_0 \ne 0\) уравнение \(\frac{4}{x + 2} = y_0\) имеет единственный корень, поэтому функция обратима.
Выразим \(x\) через \(y\): \(x + 2 = \frac{4}{y}\); \(x = \frac{4}{y} - 2 = \frac{4 - 2y}{y}\).
Обратная функция — \(y = \frac{4 - 2x}{x}\).
Ответ: 1) \(y = 5(x - 3)\); 2) \(y = \frac{x + 1}{x}\); 3) \(y = \frac{4 - 2x}{x}\).
