Страница 66 номер 7.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = 3x - 1\); 2) \(y = \frac{1}{x}\); 3) \(y = \frac{1}{2x + 1}\).
1) \(y = 3x - 1\) возрастает, значит, обратима; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
\(3x = y + 1\); \(x = \frac{y + 1}{3}\). Обратная функция — \(y = \frac{x + 1}{3}\).
2) \(y = \frac{1}{x}\): \(D(y) = E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\); уравнение \(\frac{1}{x} = y_0\) при каждом \(y_0 \ne 0\) имеет единственный корень, поэтому функция обратима.
\(x = \frac{1}{y}\). Обратная функция — \(y = \frac{1}{x}\), то есть данная функция обратна самой себе.
3) \(y = \frac{1}{2x + 1}\): \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}\), \(E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\); функция обратима.
\(2x + 1 = \frac{1}{y}\); \(2x = \frac{1}{y} - 1 = \frac{1 - y}{y}\); \(x = \frac{1 - y}{2y}\). Обратная функция — \(y = \frac{1 - x}{2x}\).
Ответ: 1) \(y = \frac{x + 1}{3}\); 2) \(y = \frac{1}{x}\); 3) \(y = \frac{1 - x}{2x}\).
Найдите функцию, обратную к данной: 1) \(y = 3x - 1\); 2) \(y = \frac{1}{x}\); 3) \(y = \frac{1}{2x + 1}\).
1) \(y = 3x - 1\). Функция возрастающая, значит, обратимая; \(D(y) = E(y) = \mathbf{R}\).
Выразим \(x\) через \(y\): \(3x = y + 1\); \(x = \frac{y + 1}{3}\).
Полученное равенство задаёт функцию с аргументом \(y\). Обозначая, как принято, аргумент буквой \(x\), а зависимую переменную буквой \(y\), получаем обратную функцию \(y = \frac{x + 1}{3}\).
2) \(y = \frac{1}{x}\). Здесь \(D(y) = E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\). Для каждого \(y_0 \ne 0\) уравнение \(\frac{1}{x} = y_0\) имеет единственный корень, поэтому функция обратима.
Выразим \(x\) через \(y\): \(x = \frac{1}{y}\). Обратная функция — \(y = \frac{1}{x}\), то есть данная функция обратна самой себе.
3) \(y = \frac{1}{2x + 1}\). Здесь \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}\), \(E(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\). Для каждого \(y_0 \ne 0\) уравнение \(\frac{1}{2x + 1} = y_0\) имеет единственный корень, поэтому функция обратима.
Выразим \(x\) через \(y\): \(2x + 1 = \frac{1}{y}\); \(2x = \frac{1}{y} - 1 = \frac{1 - y}{y}\); \(x = \frac{1 - y}{2y}\).
Обратная функция — \(y = \frac{1 - x}{2x}\).
Ответ: 1) \(y = \frac{x + 1}{3}\); 2) \(y = \frac{1}{x}\); 3) \(y = \frac{1 - x}{2x}\).
