Страница 66 номер 7.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что функции \(f\) и \(g\) являются взаимно обратными: 1) \(f(x) = 4x + 2\), \(g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}\); 2) \(f(x) = (x - 3)^2\), \(D(f) = [3;\ +\infty)\), \(g(x) = \sqrt{x} + 3\).
1) Функции \(f(x) = 4x + 2\) и \(g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}\) линейные, поэтому \(D(f) = E(g) = \mathbf{R}\) и \(E(f) = D(g) = \mathbf{R}\).
Пусть \(f(x_0) = y_0 = 4x_0 + 2\). Тогда \[g(y_0) = \frac{y_0}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4x_0 + 2}{4} - \frac{1}{2} = x_0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = x_0.\]
Оба условия выполнены, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
2) При \(x \geqslant 3\) выражение \(x - 3\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(f) = [0;\ +\infty)\); \(D(g) = [0;\ +\infty)\) и \(E(g) = [3;\ +\infty)\). Значит, \(D(f) = E(g) = [3;\ +\infty)\) и \(E(f) = D(g)\).
Пусть \(f(x_0) = y_0 = (x_0 - 3)^2\), где \(x_0 \geqslant 3\). Так как \(x_0 - 3 \geqslant 0\), то \[\begin{aligned} &g(y_0) = \sqrt{y_0} + 3 = \sqrt{(x_0 - 3)^2} + 3 = {} \\ &= |x_0 - 3| + 3 = x_0 - 3 + 3 = x_0. \end{aligned}\]
Оба условия выполнены, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
Ответ: в обоих случаях области определения и области значений функций \(f\) и \(g\) меняются местами и выполняется равенство \(g(f(x_0)) = x_0\), поэтому данные функции взаимно обратны.
Докажите, что функции \(f\) и \(g\) являются взаимно обратными: 1) \(f(x) = 4x + 2\), \(g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}\); 2) \(f(x) = (x - 3)^2\), \(D(f) = [3;\ +\infty)\), \(g(x) = \sqrt{x} + 3\).
1) \(f(x) = 4x + 2\), \(g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}\).
Обе функции линейные, определены при всех действительных значениях аргумента и принимают все действительные значения, поэтому \(D(f) = E(g) = \mathbf{R}\) и \(E(f) = D(g) = \mathbf{R}\).
Пусть \(f(x_0) = y_0\), то есть \(y_0 = 4x_0 + 2\). Тогда \[g(y_0) = \frac{y_0}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4x_0 + 2}{4} - \frac{1}{2} = x_0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = x_0.\]
Оба условия определения выполнены, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
2) \(f(x) = (x - 3)^2\), \(D(f) = [3;\ +\infty)\), \(g(x) = \sqrt{x} + 3\).
При \(x \geqslant 3\) выражение \(x - 3\) принимает все значения из промежутка \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(f) = [0;\ +\infty)\).
Область определения функции \(g\) — промежуток \([0;\ +\infty)\), причём \(\sqrt{x}\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(g) = [3;\ +\infty)\).
Значит, \(D(f) = E(g) = [3;\ +\infty)\) и \(E(f) = D(g) = [0;\ +\infty)\).
Пусть \(f(x_0) = y_0\), где \(x_0 \geqslant 3\), то есть \(y_0 = (x_0 - 3)^2\). Так как \(x_0 - 3 \geqslant 0\), то \[\begin{aligned} &g(y_0) = \sqrt{y_0} + 3 = \sqrt{(x_0 - 3)^2} + 3 = {} \\ &= |x_0 - 3| + 3 = x_0 - 3 + 3 = x_0. \end{aligned}\]
Оба условия определения выполнены, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
Ответ: в обоих случаях области определения и области значений функций \(f\) и \(g\) меняются местами и выполняется равенство \(g(f(x_0)) = x_0\), поэтому данные функции взаимно обратны.
