Страница 66 номер 7.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что функции \(f\) и \(g\) являются взаимно обратными: 1) \(f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}\), \(g(x) = 3x - 1\); 2) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\), \(g(x) = x^2 - 2\), \(D(g) = [0;\ +\infty)\).
1) Функции \(f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}\) и \(g(x) = 3x - 1\) линейные, поэтому \(D(f) = E(g) = \mathbf{R}\) и \(E(f) = D(g) = \mathbf{R}\).
Пусть \(f(x_0) = y_0 = \frac{x_0}{3} + \frac{1}{3}\). Тогда \[g(y_0) = 3y_0 - 1 = 3\left(\frac{x_0}{3} + \frac{1}{3}\right) - 1 = x_0 + 1 - 1 = x_0.\]
Оба условия выполнены, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
2) Из условия \(x + 2 \geqslant 0\) получаем \(D(f) = [-2;\ +\infty)\), причём \(E(f) = [0;\ +\infty)\); при \(x \geqslant 0\) выражение \(x^2\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(g) = [-2;\ +\infty)\). Значит, \(D(f) = E(g)\) и \(E(f) = D(g) = [0;\ +\infty)\).
Пусть \(f(x_0) = y_0 = \sqrt{x_0 + 2}\), где \(x_0 \geqslant -2\). Тогда \[g(y_0) = y_0^2 - 2 = \left(\sqrt{x_0 + 2}\right)^2 - 2 = x_0 + 2 - 2 = x_0.\]
Оба условия выполнены, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
Ответ: в обоих случаях области определения и области значений функций \(f\) и \(g\) меняются местами и выполняется равенство \(g(f(x_0)) = x_0\), поэтому данные функции взаимно обратны.
Докажите, что функции \(f\) и \(g\) являются взаимно обратными: 1) \(f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}\), \(g(x) = 3x - 1\); 2) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\), \(g(x) = x^2 - 2\), \(D(g) = [0;\ +\infty)\).
1) \(f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}\), \(g(x) = 3x - 1\).
Обе функции линейные, определены при всех действительных значениях аргумента и принимают все действительные значения, поэтому \(D(f) = E(g) = \mathbf{R}\) и \(E(f) = D(g) = \mathbf{R}\). Первое условие определения выполнено.
Пусть \(f(x_0) = y_0\), то есть \(y_0 = \frac{x_0}{3} + \frac{1}{3}\). Тогда \[g(y_0) = 3y_0 - 1 = 3\left(\frac{x_0}{3} + \frac{1}{3}\right) - 1 = x_0 + 1 - 1 = x_0.\]
Выполнено и второе условие, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
2) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\), \(g(x) = x^2 - 2\), \(D(g) = [0;\ +\infty)\).
Область определения функции \(f\) задаётся условием \(x + 2 \geqslant 0\), то есть \(D(f) = [-2;\ +\infty)\). Выражение \(x + 2\) принимает при этом все значения из промежутка \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(f) = [0;\ +\infty)\).
При \(x \geqslant 0\) выражение \(x^2\) принимает все значения из промежутка \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(g) = [-2;\ +\infty)\).
Значит, \(D(f) = E(g) = [-2;\ +\infty)\) и \(E(f) = D(g) = [0;\ +\infty)\).
Пусть \(f(x_0) = y_0\), где \(x_0 \geqslant -2\), то есть \(y_0 = \sqrt{x_0 + 2}\). Тогда \[g(y_0) = y_0^2 - 2 = \left(\sqrt{x_0 + 2}\right)^2 - 2 = x_0 + 2 - 2 = x_0.\]
Оба условия определения выполнены, значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.
Ответ: в обоих случаях области определения и области значений функций \(f\) и \(g\) меняются местами и выполняется равенство \(g(f(x_0)) = x_0\), поэтому данные функции взаимно обратны.
