Страница 66 номер 7.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Докажите, что данная функция не является обратимой: 1) \(y = |x|\); 2) \(y = \frac{1}{x^4}\); 3) \(y = 5\); 4) \(y = [x]\).
Функция необратима, если хотя бы одно своё значение она принимает более чем при одном значении аргумента.
1) \(|-1| = |1| = 1\): значение 1 достигается при \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\), поэтому функция \(y = |x|\) не обратима.
2) \(\frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1^4} = 1\): значение 1 достигается при \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\), поэтому функция \(y = \frac{1}{x^4}\) не обратима.
3) Значение 5 функция принимает при каждом значении аргумента, например при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\), поэтому она не обратима.
4) \([0] = [0{,}5] = 0\): значение 0 достигается при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 0{,}5\), поэтому функция \(y = [x]\) не обратима.
Ответ: ни одна из данных функций не обратима: 1) \(|-1| = |1| = 1\); 2) \(\frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1^4} = 1\); 3) значение 5 функция принимает при каждом значении аргумента; 4) \([0] = [0{,}5] = 0\).
Докажите, что данная функция не является обратимой: 1) \(y = |x|\); 2) \(y = \frac{1}{x^4}\); 3) \(y = 5\); 4) \(y = [x]\).
Функция необратима, если хотя бы одно своё значение она принимает более чем при одном значении аргумента.
1) \(y = |x|\). Значение \(y_0 = 1\) функция принимает при двух различных значениях аргумента: \(|-1| = 1\) и \(|1| = 1\), то есть при \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\). Единственности нет, поэтому функция \(y = |x|\) не является обратимой.
2) \(y = \frac{1}{x^4}\), \(D(y) = \mathbf{R} \setminus \{0\}\). Значение \(y_0 = 1\) функция принимает при \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\), так как \(\frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1^4} = 1\). Значит, функция не является обратимой.
3) \(y = 5\). Здесь \(D(y) = \mathbf{R}\), а единственному значению \(y_0 = 5\) отвечает не одно значение аргумента, а сразу все: например, при \(x_1 = 0\) и при \(x_2 = 1\) получаем одно и то же значение 5. Значит, функция не является обратимой.
4) \(y = [x]\) — целая часть числа. Значение \(y_0 = 0\) функция принимает, например, при \(x_1 = 0\) и при \(x_2 = 0{,}5\), так как \([0] = 0\) и \([0{,}5] = 0\). Значит, функция не является обратимой.
Ответ: ни одна из данных функций не обратима: 1) \(|-1| = |1| = 1\); 2) \(\frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1^4} = 1\); 3) значение 5 функция принимает при каждом значении аргумента; 4) \([0] = [0{,}5] = 0\).
