Страница 67 номер 7.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) имеет обратную функцию \(g\). Известно, что неравенство \(2x - 8 < f(x) < 2x - 6\) выполняется для всех \(x \in \mathbf{R}\), а уравнение \(g(x) = 2x^2 - 3\) имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью, равной \(0{,}1\).
Надо указать число, отличающееся от корня уравнения не более чем на \(0{,}1\).
Возьмём \(a \in D(g)\) и обозначим \(g(a) = b\); тогда \(f(b) = a\) и по условию \(2b - 8 < a < 2b - 6\).
Из левого неравенства \(b < \frac{a}{2} + 4\), из правого \(b > \frac{a}{2} + 3\), значит, \(\frac{a}{2} + 3 < g(a) < \frac{a}{2} + 4\) для всех \(a \in D(g)\).
Пусть \(x_0 > 0\) — корень уравнения; подставив \(2x_0^2 - 3\) вместо \(g(x_0)\), получаем \(\frac{x_0}{2} + 3 < 2x_0^2 - 3 < \frac{x_0}{2} + 4\).
Левое неравенство: \(4x_0^2 - 6 > x_0 + 6\); \(4x_0^2 - x_0 - 12 > 0\); дискриминант трёхчлена \(4x^2 - x - 12\) равен \(1 + 192 = 193\), его корни \(\frac{1 - \sqrt{193}}{8}\) и \(\frac{1 + \sqrt{193}}{8}\), поэтому при \(x_0 > 0\) имеем \(x_0 > \frac{1 + \sqrt{193}}{8}\).
Правое неравенство: \(4x_0^2 - 6 < x_0 + 8\); \(4x_0^2 - x_0 - 14 < 0\); дискриминант трёхчлена \(4x^2 - x - 14\) равен \(1 + 224 = 225\), его корни \(\frac{1 - 15}{8} = -1{,}75\) и \(\frac{1 + 15}{8} = 2\), поэтому \(-1{,}75 < x_0 < 2\), то есть \(x_0 < 2\).
Корень лежит в промежутке \((x_1;\ x_2)\), где \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{193}}{8}\), \(x_2 = 2\); его длина \(x_2 - x_1 = 2 - \frac{1 + \sqrt{193}}{8} = \frac{15 - \sqrt{193}}{8}\). Так как \(13{,}8^2 = 190{,}44 < 193\), то \(\sqrt{193} > 13{,}8\) и \(\frac{15 - \sqrt{193}}{8} < \frac{15 - 13{,}8}{8} = 0{,}15\).
Середина промежутка: \[\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1 + \sqrt{193}}{8} + 2\right) = \frac{17 + \sqrt{193}}{16} \approx 1{,}93.\]
Она отличается от корня меньше чем на половину длины промежутка, то есть меньше чем на \(0{,}075\), а значит, меньше чем на \(0{,}1\).
Ответ: \(\frac{17 + \sqrt{193}}{16} \approx 1{,}93\).
Функция \(f\) имеет обратную функцию \(g\). Известно, что неравенство \(2x - 8 < f(x) < 2x - 6\) выполняется для всех \(x \in \mathbf{R}\), а уравнение \(g(x) = 2x^2 - 3\) имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью, равной \(0{,}1\).
Абсолютной погрешностью называют модуль разности между приближённым и точным значениями величины. Значит, надо указать число, отличающееся от корня уравнения не более чем на \(0{,}1\).
Оценим значения обратной функции. Возьмём произвольное \(a \in D(g)\) и обозначим \(g(a) = b\). Тогда \(f(b) = a\), и по условию \(2b - 8 < a < 2b - 6\).
Из левого неравенства получаем \(2b < a + 8\), то есть \(b < \frac{a}{2} + 4\); из правого — \(a + 6 < 2b\), то есть \(b > \frac{a}{2} + 3\). Значит, для всех \(a \in D(g)\) выполняется двойное неравенство \(\frac{a}{2} + 3 < g(a) < \frac{a}{2} + 4\).
Это и понятно: график функции \(f\) лежит в «полосе» между прямыми \(y = 2x - 8\) и \(y = 2x - 6\), а графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\), поэтому график функции \(g\) лежит в «полосе» между симметричными им прямыми \(y = \frac{x}{2} + 4\) и \(y = \frac{x}{2} + 3\).
Пусть \(x_0 > 0\) — корень уравнения \(g(x) = 2x^2 - 3\). Подставив \(2x_0^2 - 3\) вместо \(g(x_0)\), получаем \(\frac{x_0}{2} + 3 < 2x_0^2 - 3 < \frac{x_0}{2} + 4\).
Из левого неравенства: \(2x_0^2 - 3 > \frac{x_0}{2} + 3\); \(4x_0^2 - 6 > x_0 + 6\); \(4x_0^2 - x_0 - 12 > 0\). Дискриминант трёхчлена \(4x^2 - x - 12\) равен \(1 + 192 = 193\), его корни \(\frac{1 - \sqrt{193}}{8}\) и \(\frac{1 + \sqrt{193}}{8}\), поэтому при \(x_0 > 0\) имеем \(x_0 > \frac{1 + \sqrt{193}}{8}\).
Из правого неравенства: \(2x_0^2 - 3 < \frac{x_0}{2} + 4\); \(4x_0^2 - 6 < x_0 + 8\); \(4x_0^2 - x_0 - 14 < 0\). Дискриминант трёхчлена \(4x^2 - x - 14\) равен \(1 + 224 = 225\), его корни \(\frac{1 - 15}{8} = -1{,}75\) и \(\frac{1 + 15}{8} = 2\), поэтому \(-1{,}75 < x_0 < 2\) и, значит, \(x_0 < 2\).
Обозначим \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{193}}{8}\) и \(x_2 = 2\). Корень уравнения принадлежит промежутку \((x_1;\ x_2)\), длина которого \(x_2 - x_1 = 2 - \frac{1 + \sqrt{193}}{8} = \frac{15 - \sqrt{193}}{8}\). Так как \(13{,}8^2 = 190{,}44 < 193\), то \(\sqrt{193} > 13{,}8\) и \(\frac{15 - \sqrt{193}}{8} < \frac{15 - 13{,}8}{8} = 0{,}15\).
Возьмём в качестве приближённого значения корня середину этого промежутка: \[\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1 + \sqrt{193}}{8} + 2\right) = \frac{17 + \sqrt{193}}{16} \approx 1{,}93.\]
Расстояние от середины промежутка до любой его точки меньше половины длины промежутка, то есть меньше \(0{,}075\). Значит, найденное число отличается от корня уравнения меньше чем на \(0{,}1\).
Ответ: \(\frac{17 + \sqrt{193}}{16} \approx 1{,}93\).
