Страница 67 номер 7.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) имеет обратную функцию \(g\). Известно, что неравенство \(\frac{1}{2}x - 1 < f(x) < \frac{1}{2}x + 1\) выполняется для всех \(x \in \mathbf{R}\), а уравнение \(g(x) = 10 - 2x^2\) имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью¹, равной \(0{,}25\).
¹ Абсолютной погрешностью называют модуль разности между приближённым и точным значениями величины.
Надо указать число, отличающееся от корня уравнения не более чем на \(0{,}25\).
Возьмём \(a \in D(g)\) и обозначим \(g(a) = b\); тогда \(f(b) = a\) и по условию \(\frac{1}{2}b - 1 < a < \frac{1}{2}b + 1\).
Из левого неравенства \(b < 2a + 2\), из правого \(b > 2a - 2\), значит, \(2a - 2 < g(a) < 2a + 2\) для всех \(a \in D(g)\).
Пусть \(x_0 > 0\) — корень уравнения; подставив \(10 - 2x_0^2\) вместо \(g(x_0)\), получаем \(2x_0 - 2 < 10 - 2x_0^2 < 2x_0 + 2\).
Правое неравенство: \(2x_0^2 + 2x_0 - 8 > 0\); \(x_0^2 + x_0 - 4 > 0\); корни трёхчлена \(x^2 + x - 4\) равны \(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\) и \(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\), поэтому при \(x_0 > 0\) имеем \(x_0 > \frac{\sqrt{17} - 1}{2}\).
Левое неравенство: \(2x_0^2 + 2x_0 - 12 < 0\); \(x_0^2 + x_0 - 6 < 0\); \((x_0 + 3)(x_0 - 2) < 0\), откуда \(-3 < x_0 < 2\), то есть \(x_0 < 2\).
Корень лежит в промежутке \((x_1;\ x_2)\), где \(x_1 = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}\), \(x_2 = 2\); его длина \(x_2 - x_1 = 2 - \frac{\sqrt{17} - 1}{2} = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}\), а так как \(\sqrt{17} > 4\), то \(\frac{5 - \sqrt{17}}{2} < \frac{5 - 4}{2} = 0{,}5\).
Середина промежутка: \[\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{17} - 1}{2} + 2\right) = \frac{\sqrt{17} + 3}{4} \approx 1{,}78.\]
Она отличается от корня меньше чем на половину длины промежутка, то есть меньше чем на \(0{,}25\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{17} + 3}{4} \approx 1{,}78\).
Функция \(f\) имеет обратную функцию \(g\). Известно, что неравенство \(\frac{1}{2}x - 1 < f(x) < \frac{1}{2}x + 1\) выполняется для всех \(x \in \mathbf{R}\), а уравнение \(g(x) = 10 - 2x^2\) имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью¹, равной \(0{,}25\).
¹ Абсолютной погрешностью называют модуль разности между приближённым и точным значениями величины.
Абсолютной погрешностью называют модуль разности между приближённым и точным значениями величины. Значит, надо указать число, отличающееся от корня уравнения не более чем на \(0{,}25\).
Оценим значения обратной функции. Возьмём произвольное \(a \in D(g)\) и обозначим \(g(a) = b\). Тогда \(f(b) = a\), и по условию \(\frac{1}{2}b - 1 < a < \frac{1}{2}b + 1\).
Из левого неравенства получаем \(\frac{1}{2}b < a + 1\), то есть \(b < 2a + 2\); из правого — \(a - 1 < \frac{1}{2}b\), то есть \(b > 2a - 2\). Значит, для всех \(a \in D(g)\) выполняется двойное неравенство \(2a - 2 < g(a) < 2a + 2\).
Это и понятно: график функции \(f\) лежит в «полосе» между прямыми \(y = \frac{1}{2}x - 1\) и \(y = \frac{1}{2}x + 1\), а графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\), поэтому график функции \(g\) лежит в «полосе» между симметричными им прямыми \(y = 2x + 2\) и \(y = 2x - 2\).
Пусть \(x_0 > 0\) — корень уравнения \(g(x) = 10 - 2x^2\). Подставив \(10 - 2x_0^2\) вместо \(g(x_0)\), получаем \(2x_0 - 2 < 10 - 2x_0^2 < 2x_0 + 2\).
Из правого неравенства: \(10 - 2x_0^2 < 2x_0 + 2\); \(2x_0^2 + 2x_0 - 8 > 0\); \(x_0^2 + x_0 - 4 > 0\). Корни трёхчлена \(x^2 + x - 4\) равны \(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\) и \(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\), поэтому при \(x_0 > 0\) имеем \(x_0 > \frac{\sqrt{17} - 1}{2}\).
Из левого неравенства: \(2x_0 - 2 < 10 - 2x_0^2\); \(2x_0^2 + 2x_0 - 12 < 0\); \(x_0^2 + x_0 - 6 < 0\); \((x_0 + 3)(x_0 - 2) < 0\), откуда \(-3 < x_0 < 2\) и, значит, \(x_0 < 2\).
Обозначим \(x_1 = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}\) и \(x_2 = 2\). Корень уравнения принадлежит промежутку \((x_1;\ x_2)\), длина которого \(x_2 - x_1 = 2 - \frac{\sqrt{17} - 1}{2} = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}\). Так как \(\sqrt{17} > 4\), то \(\frac{5 - \sqrt{17}}{2} < \frac{5 - 4}{2} = 0{,}5\).
Возьмём в качестве приближённого значения корня середину этого промежутка: \[\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{17} - 1}{2} + 2\right) = \frac{\sqrt{17} + 3}{4} \approx 1{,}78.\]
Расстояние от середины промежутка до любой его точки меньше половины длины промежутка, то есть меньше \(0{,}25\). Значит, найденное число отличается от корня уравнения меньше чем на \(0{,}25\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{17} + 3}{4} \approx 1{,}78\).
