Страница 67 номер 7.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) такова, что для всех \(x \in \mathbf{R}\) выполняется равенство \(f(f(x)) = x\). Докажите, что \(f\) — обратимая функция.
Равенство \(f(f(x)) = x\) выполняется для всех \(x \in \mathbf{R}\), поэтому \(D(f) = \mathbf{R}\); любое число \(x\) является значением функции \(f\) — при значении аргумента, равном \(f(x)\), — поэтому \(E(f) = \mathbf{R}\).
Предположим, что функция \(f\) не обратима: тогда некоторому \(y_0 \in E(f)\) отвечают два значения аргумента \(x_1 \ne x_2\), то есть \(f(x_1) = f(x_2) = y_0\). Применим к обеим частям функцию \(f\): \[\begin{gathered} x_1 = f(f(x_1)) = f(y_0), \\ x_2 = f(f(x_2)) = f(y_0). \end{gathered}\]
Отсюда \(x_1 = x_2\) — противоречие. Значит, функция \(f\) обратима, а из равенств \(D(f) = E(f) = \mathbf{R}\) и \(f(f(x)) = x\) следует, что обратной к \(f\) является сама функция \(f\).
Ответ: предположение о двух различных значениях аргумента с одним и тем же значением функции приводит к равенству \(x_1 = f(y_0) = x_2\), поэтому функция \(f\) обратима (и обратна самой себе).
Функция \(f\) такова, что для всех \(x \in \mathbf{R}\) выполняется равенство \(f(f(x)) = x\). Докажите, что \(f\) — обратимая функция.
Равенство \(f(f(x)) = x\) выполняется для всех \(x \in \mathbf{R}\), поэтому \(D(f) = \mathbf{R}\), и каждое значение функции снова принадлежит области определения. Кроме того, любое число \(x\) является значением функции \(f\) — оно получается при значении аргумента, равном \(f(x)\), поэтому \(E(f) = \mathbf{R}\).
Воспользуемся методом от противного. Предположим, что функция \(f\) не является обратимой. Тогда найдётся такое значение \(y_0 \in E(f)\), которому отвечают два различных значения аргумента \(x_1\) и \(x_2\) (\(x_1 \ne x_2\)), то есть \(f(x_1) = f(x_2) = y_0\).
Применим к обеим частям данного равенства функцию \(f\): \[\begin{gathered} x_1 = f(f(x_1)) = f(y_0), \\ x_2 = f(f(x_2)) = f(y_0). \end{gathered}\]
Отсюда \(x_1 = x_2\), что противоречит условию \(x_1 \ne x_2\).
Значит, каждому значению \(y_0 \in E(f)\) отвечает единственное значение аргумента, то есть функция \(f\) обратима. Более того, равенства \(D(f) = E(f) = \mathbf{R}\) и \(f(f(x)) = x\) означают, что обратной к \(f\) является сама функция \(f\).
Ответ: предположение о двух различных значениях аргумента с одним и тем же значением функции приводит к равенству \(x_1 = f(y_0) = x_2\), поэтому функция \(f\) обратима (и обратна самой себе).
