Страница 67 номер 7.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{1 + \sqrt{x}} = x - 1\).
Область определения уравнения: \(x \geqslant 0\).
Замена \(\sqrt{x} = t\), где \(t \geqslant 0\); тогда \(x = t^2\) и уравнение принимает вид \(\sqrt{1 + t} = t^2 - 1\). Левая часть неотрицательна, поэтому \(t^2 - 1 \geqslant 0\), что вместе с условием \(t \geqslant 0\) даёт \(t \geqslant 1\).
\(f(t) = \sqrt{1 + t}\): \(D(f) = [0;\ +\infty)\), \(E(f) = [1;\ +\infty)\); \(g(t) = t^2 - 1\): \(D(g) = [1;\ +\infty)\), \(E(g) = [0;\ +\infty)\). Значит, \(D(f) = E(g)\) и \(E(f) = D(g)\).
Пусть \(f(t_0) = y_0 = \sqrt{1 + t_0}\), где \(t_0 \geqslant 0\). Тогда \(g(y_0) = y_0^2 - 1 = 1 + t_0 - 1 = t_0\).
Функции \(f\) и \(g\) взаимно обратные и обе возрастающие, поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} t^2 - 1 = t, \\ t \geqslant 1. \end{cases}\]
\(t^2 - t - 1 = 0\); \(D = 1 + 4 = 5\); \(t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\). Условию \(t \geqslant 1\) удовлетворяет только \(t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), так как \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0\).
\(\sqrt{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\); \(x = \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\).
Ответ: \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\).
Решите уравнение \(\sqrt{1 + \sqrt{x}} = x - 1\).
Область определения уравнения задаётся условием \(x \geqslant 0\).
Выполним замену \(\sqrt{x} = t\), где \(t \geqslant 0\); тогда \(x = t^2\), и уравнение принимает вид \(\sqrt{1 + t} = t^2 - 1\).
Левая часть неотрицательна, поэтому \(t^2 - 1 \geqslant 0\), а вместе с условием \(t \geqslant 0\) это даёт \(t \geqslant 1\).
Рассмотрим функции \(f(t) = \sqrt{1 + t}\), \(D(f) = [0;\ +\infty)\), и \(g(t) = t^2 - 1\), \(D(g) = [1;\ +\infty)\).
При \(t \geqslant 0\) выражение \(1 + t\) принимает все значения из \([1;\ +\infty)\), поэтому \(E(f) = [1;\ +\infty)\). При \(t \geqslant 1\) выражение \(t^2\) принимает все значения из \([1;\ +\infty)\), поэтому \(E(g) = [0;\ +\infty)\).
Значит, \(D(f) = E(g) = [0;\ +\infty)\) и \(E(f) = D(g) = [1;\ +\infty)\).
Пусть \(f(t_0) = y_0\), где \(t_0 \geqslant 0\), то есть \(y_0 = \sqrt{1 + t_0}\). Тогда \(g(y_0) = y_0^2 - 1 = 1 + t_0 - 1 = t_0\).
Значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратные, и обе они возрастающие. Тогда уравнение \(f(t) = g(t)\) равносильно системе \[\begin{cases} t^2 - 1 = t, \\ t \geqslant 1. \end{cases}\]
Решим уравнение системы: \(t^2 - t - 1 = 0\); \(D = 1 + 4 = 5\); \(t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\). Условию \(t \geqslant 1\) удовлетворяет только корень \(t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\), так как \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0\).
Вернёмся к переменной \(x\): \(\sqrt{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\); \(x = \frac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\).
Ответ: \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\).
