Страница 67 номер 7.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{x - \frac{1}{8}} = x^2 + \frac{1}{8}\).
Для \(g(x) = \sqrt{x - \frac{1}{8}}\) из условия \(x - \frac{1}{8} \geqslant 0\) имеем \(D(g) = \left[\frac{1}{8};\ +\infty\right)\), \(E(g) = [0;\ +\infty)\); для \(f(x) = x^2 + \frac{1}{8}\) с \(D(f) = [0;\ +\infty)\) имеем \(E(f) = \left[\frac{1}{8};\ +\infty\right)\). Значит, \(D(f) = E(g)\) и \(E(f) = D(g)\).
Пусть \(f(x_0) = y_0 = x_0^2 + \frac{1}{8}\), где \(x_0 \geqslant 0\). Тогда \[g(y_0) = \sqrt{x_0^2 + \frac{1}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{x_0^2} = |x_0| = x_0.\]
Функции \(f\) и \(g\) взаимно обратные и обе возрастающие, поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 + \frac{1}{8} = x, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]
\(x^2 - x + \frac{1}{8} = 0\); \(8x^2 - 8x + 1 = 0\); \(D = 64 - 32 = 32\), \(\sqrt{D} = 4\sqrt{2}\); \(x = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}\).
Так как \(\sqrt{2} < 2\), оба корня положительны, то есть удовлетворяют условию \(x \geqslant 0\).
Ответ: \(\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\); \(\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\).
Решите уравнение \(\sqrt{x - \frac{1}{8}} = x^2 + \frac{1}{8}\).
Рассмотрим функции \(g(x) = \sqrt{x - \frac{1}{8}}\) и \(f(x) = x^2 + \frac{1}{8}\), \(D(f) = [0;\ +\infty)\).
Область определения функции \(g\) задаётся условием \(x - \frac{1}{8} \geqslant 0\), то есть \(D(g) = \left[\frac{1}{8};\ +\infty\right)\), и при этом \(E(g) = [0;\ +\infty)\). При \(x \geqslant 0\) выражение \(x^2\) принимает все значения из \([0;\ +\infty)\), поэтому \(E(f) = \left[\frac{1}{8};\ +\infty\right)\).
Значит, \(D(f) = E(g) = [0;\ +\infty)\) и \(E(f) = D(g) = \left[\frac{1}{8};\ +\infty\right)\).
Пусть \(f(x_0) = y_0\), где \(x_0 \geqslant 0\), то есть \(y_0 = x_0^2 + \frac{1}{8}\). Тогда \[g(y_0) = \sqrt{x_0^2 + \frac{1}{8} - \frac{1}{8}} = \sqrt{x_0^2} = |x_0| = x_0.\]
Значит, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратные, и обе они возрастающие. Тогда уравнение \(g(x) = f(x)\) равносильно системе \[\begin{cases} x^2 + \frac{1}{8} = x, \\ x \geqslant 0. \end{cases}\]
Решим уравнение системы: \(x^2 - x + \frac{1}{8} = 0\); \(8x^2 - 8x + 1 = 0\); \(D = 64 - 32 = 32\), \(\sqrt{D} = 4\sqrt{2}\); \(x = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}\).
Так как \(\sqrt{2} < 2\), оба корня положительны, то есть удовлетворяют условию \(x \geqslant 0\).
Ответ: \(\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\); \(\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\).
