Страница 67 номер 7.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) является обратной к функции \(g(x) = x^3 + x - 8\). Решите уравнение \(f(x) = g(x)\).
\(g(x) = x^3 + x - 8\) возрастает на \(\mathbf{R}\), значит, обратима, и обратная к ней функция \(f\) тоже возрастающая.
Общие точки графиков возрастающих взаимно обратных функций лежат на прямой \(y = x\), поэтому уравнение \(f(x) = g(x)\) равносильно уравнению \(g(x) = x\): \[\begin{gathered} x^3 + x - 8 = x; \\ x^3 = 8; \\ x = 2. \end{gathered}\]
Проверка: \(g(2) = 2^3 + 2 - 8 = 2\), значит, \(f(2) = 2\) и точка \((2;\ 2)\) — общая точка графиков.
Ответ: \(x = 2\).
Функция \(f\) является обратной к функции \(g(x) = x^3 + x - 8\). Решите уравнение \(f(x) = g(x)\).
Функция \(g(x) = x^3 + x - 8\) возрастает на \(\mathbf{R}\): если \(x_1 < x_2\), то \(x_1^3 < x_2^3\) и \(x_1 < x_2\), а тогда \(g(x_1) < g(x_2)\). Значит, функция \(g\) обратима, и обратная к ней функция \(f\) существует, причём она также является возрастающей.
Функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны и возрастают, а общие точки графиков таких функций лежат на прямой \(y = x\), поэтому уравнение \(f(x) = g(x)\) равносильно уравнению \(g(x) = x\):
\[\begin{gathered} x^3 + x - 8 = x; \\ x^3 = 8; \\ x = 2. \end{gathered}\]
Проверка: \(g(2) = 2^3 + 2 - 8 = 2\), значит, \(f(2) = 2\) и точка \((2;\ 2)\) — общая точка графиков.
Ответ: \(x = 2\).
