Страница 67 номер 7.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(g\) является обратной к функции \(f(x) = x^5 + x - 1\). Решите уравнение \(f(x) = g(x)\).
\(f(x) = x^5 + x - 1\) возрастает на \(\mathbf{R}\), значит, обратима, и обратная к ней функция \(g\) тоже возрастающая.
Общие точки графиков возрастающих взаимно обратных функций лежат на прямой \(y = x\), поэтому уравнение \(f(x) = g(x)\) равносильно уравнению \(f(x) = x\): \[\begin{gathered} x^5 + x - 1 = x; \\ x^5 = 1. \end{gathered}\]
Функция \(y = x^5\) возрастающая, поэтому \(x = 1\).
Проверка: \(f(1) = 1^5 + 1 - 1 = 1\), значит, \(g(1) = 1\) и точка \((1;\ 1)\) — общая точка графиков.
Ответ: \(x = 1\).
Функция \(g\) является обратной к функции \(f(x) = x^5 + x - 1\). Решите уравнение \(f(x) = g(x)\).
Функция \(f(x) = x^5 + x - 1\) возрастает на \(\mathbf{R}\): если \(x_1 < x_2\), то \(x_1^5 < x_2^5\) и \(x_1 < x_2\), а тогда \(f(x_1) < f(x_2)\). Значит, функция \(f\) обратима, и обратная к ней функция \(g\) существует, причём она также является возрастающей.
Общие точки графиков возрастающих взаимно обратных функций лежат на прямой \(y = x\), поэтому уравнение \(f(x) = g(x)\) равносильно уравнению \(f(x) = x\):
\[\begin{gathered} x^5 + x - 1 = x; \\ x^5 = 1. \end{gathered}\]
Функция \(y = x^5\) возрастающая, поэтому значение, равное 1, она принимает только при \(x = 1\).
Проверка: \(f(1) = 1^5 + 1 - 1 = 1\), значит, \(g(1) = 1\) и точка \((1;\ 1)\) — общая точка графиков.
Ответ: \(x = 1\).
