Страница 67 номер 7.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Пусть \(g\) — функция, обратная к функции \(f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}\). 1) Найдите \(g(28)\). 2) Решите уравнение \(g(x) = 1\). 3) Существует ли такое значение \(c\), что уравнение \(g(x) = c\) имеет два корня?
Из условия \(x - 2 \geqslant 0\) имеем \(D(f) = [2;\ +\infty)\); на нём возрастают и \(x^3\), и \(\sqrt{x - 2}\), поэтому функция \(f\) возрастает, а значит, обратима, и обратная функция \(g\) существует; \(E(g) = D(f) = [2;\ +\infty)\), \(D(g) = E(f)\).
1) \(f(3) = 3^3 + \sqrt{3 - 2} = 27 + 1 = 28\), значит, \(g(28) = 3\).
2) \(E(g) = [2;\ +\infty)\), а число 1 этому промежутку не принадлежит, поэтому уравнение \(g(x) = 1\) корней не имеет.
3) Пусть при некотором \(c\) уравнение имеет два корня: \(g(x_1) = g(x_2) = c\), \(x_1 \ne x_2\). Тогда \(c \in E(g) = D(f)\), поэтому значение \(f(c)\) существует, и по определению взаимно обратных функций \(x_1 = f(c)\) и \(x_2 = f(c)\), то есть \(x_1 = x_2\) — противоречие.
Такого значения \(c\) не существует: при \(c \geqslant 2\) уравнение имеет единственный корень \(x = f(c) = c^3 + \sqrt{c - 2}\), а при \(c < 2\) корней не имеет.
Ответ: 1) \(g(28) = 3\); 2) корней нет; 3) такого значения \(c\) не существует — уравнение \(g(x) = c\) ни при каком \(c\) не имеет двух корней.
Пусть \(g\) — функция, обратная к функции \(f(x) = x^3 + \sqrt{x - 2}\). 1) Найдите \(g(28)\). 2) Решите уравнение \(g(x) = 1\). 3) Существует ли такое значение \(c\), что уравнение \(g(x) = c\) имеет два корня?
Область определения функции \(f\) задаётся условием \(x - 2 \geqslant 0\), то есть \(D(f) = [2;\ +\infty)\). На этом промежутке возрастают и \(x^3\), и \(\sqrt{x - 2}\), поэтому функция \(f\) — возрастающая, а значит, обратимая, и обратная функция \(g\) существует. При этом \(E(g) = D(f) = [2;\ +\infty)\), \(D(g) = E(f)\).
1) \(f(3) = 3^3 + \sqrt{3 - 2} = 27 + 1 = 28\). По определению взаимно обратных функций из равенства \(f(3) = 28\) следует, что \(g(28) = 3\).
2) Все значения функции \(g\) образуют множество \(E(g) = [2;\ +\infty)\), а число 1 этому промежутку не принадлежит. Значит, значение, равное 1, функция \(g\) не принимает ни при каком значении аргумента, и уравнение \(g(x) = 1\) корней не имеет.
3) Предположим, что при некотором значении \(c\) уравнение \(g(x) = c\) имеет два различных корня \(x_1\) и \(x_2\), то есть \(g(x_1) = g(x_2) = c\). Тогда \(c \in E(g)\), а \(E(g) = D(f)\), поэтому значение \(f(c)\) существует. По определению взаимно обратных функций из равенства \(g(x_1) = c\) следует, что \(x_1 = f(c)\), а из равенства \(g(x_2) = c\) — что \(x_2 = f(c)\). Значит, \(x_1 = x_2\), что противоречит предположению.
Такого значения \(c\) не существует: при \(c \geqslant 2\) уравнение \(g(x) = c\) имеет единственный корень \(x = f(c) = c^3 + \sqrt{c - 2}\), а при \(c < 2\) корней не имеет.
Ответ: 1) \(g(28) = 3\); 2) корней нет; 3) такого значения \(c\) не существует — уравнение \(g(x) = c\) ни при каком \(c\) не имеет двух корней.
