Страницы 66-67 номер 7.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Пусть \(g\) — функция, обратная к функции \(f(x) = x^5 + 6x^3\). 1) Найдите \(g(7)\). 2) Решите уравнение \(g(x) = -1\). 3) Сколько корней имеет уравнение \(g(x) = c\) в зависимости от значения параметра \(c\)?
Функции \(y = x^5\) и \(y = 6x^3\) возрастают на \(\mathbf{R}\), поэтому и функция \(f\) возрастает, а значит, обратима, и обратная функция \(g\) существует; \(D(f) = \mathbf{R}\), \(E(g) = D(f) = \mathbf{R}\), \(D(g) = E(f)\).
1) \(f(1) = 1^5 + 6 \cdot 1^3 = 1 + 6 = 7\), значит, \(g(7) = 1\).
2) Из равенства \(g(x) = -1\) следует, что \(x = f(-1) = (-1)^5 + 6 \cdot (-1)^3 = -1 - 6 = -7\); других корней нет.
3) Уравнение \(g(x) = c\) равносильно равенству \(x = f(c)\): если \(x = f(c)\), то \(g(x) = g(f(c)) = c\). Так как \(D(f) = \mathbf{R}\), число \(f(c) = c^5 + 6c^3\) существует при любом \(c\) и оно единственно, поэтому уравнение при любом \(c\) имеет ровно один корень \(x = c^5 + 6c^3\).
Ответ: 1) \(g(7) = 1\); 2) \(x = -7\); 3) при любом значении \(c\) уравнение имеет один корень \(x = c^5 + 6c^3\).
Пусть \(g\) — функция, обратная к функции \(f(x) = x^5 + 6x^3\). 1) Найдите \(g(7)\). 2) Решите уравнение \(g(x) = -1\). 3) Сколько корней имеет уравнение \(g(x) = c\) в зависимости от значения параметра \(c\)?
Функции \(y = x^5\) и \(y = 6x^3\) возрастают на \(\mathbf{R}\): если \(x_1 < x_2\), то \(x_1^5 < x_2^5\) и \(6x_1^3 < 6x_2^3\). Тогда и \(f(x_1) < f(x_2)\), то есть функция \(f\) — возрастающая, а значит, обратимая, и обратная функция \(g\) существует. При этом \(D(f) = \mathbf{R}\), \(E(g) = D(f) = \mathbf{R}\), \(D(g) = E(f)\).
1) \(f(1) = 1^5 + 6 \cdot 1^3 = 1 + 6 = 7\). По определению взаимно обратных функций из равенства \(f(1) = 7\) следует, что \(g(7) = 1\).
2) Из равенства \(g(x) = -1\) следует, что \(x = f(-1)\). Вычислим: \(f(-1) = (-1)^5 + 6 \cdot (-1)^3 = -1 - 6 = -7\). Значит, \(x = -7\), и других корней уравнение не имеет, так как \(f(-1)\) — одно число.
3) Равенство \(g(x) = c\) означает, что \(x = f(c)\); обратно, если \(x = f(c)\), то \(g(x) = g(f(c)) = c\). Значит, уравнение \(g(x) = c\) равносильно равенству \(x = f(c)\).
Так как \(D(f) = \mathbf{R}\), то число \(f(c) = c^5 + 6c^3\) существует при любом значении \(c\) и оно единственно. Значит, при любом \(c\) уравнение имеет ровно один корень \(x = c^5 + 6c^3\).
Ответ: 1) \(g(7) = 1\); 2) \(x = -7\); 3) при любом значении \(c\) уравнение имеет один корень \(x = c^5 + 6c^3\).
