Вопросы после параграфа §7 на странице 65, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа

Функцию \(y = f(x)\) называют обратимой, если для любого \(y_0 \in E(f)\) существует единственное \(x_0 \in D(f)\) такое, что \(y_0 = f(x_0)\).

Значит, каждое своё значение обратимая функция принимает только при одном значении аргумента. На графике это видно так: любая горизонтальная прямая пересекает график обратимой функции не более чем в одной точке.

Например, функция \(y = \sqrt{x}\) обратима. Функция \(y = x^2\) обратимой не является: значению, равному 4, отвечают два значения аргумента: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 2\).

Ответ: обратимой называют такую функцию \(y = f(x)\), что для любого \(y_0 \in E(f)\) существует единственное \(x_0 \in D(f)\), при котором \(y_0 = f(x_0)\).

Если функция является возрастающей (убывающей), то она обратима.

Пусть, например, функция \(f\) — возрастающая. Если бы она не была обратимой, то нашлось бы значение \(y_0 \in E(f)\) и такие числа \(x_1\) и \(x_2\) (\(x_1 < x_2\)), что \(f(x_1) = f(x_2) = y_0\). Но из возрастания функции и неравенства \(x_1 < x_2\) следует, что \(f(x_1) < f(x_2)\). Получили противоречие.

Обратное утверждение неверно: обратимая функция не обязана быть возрастающей или убывающей.

Ответ: если функция является возрастающей (убывающей), то она обратима.

Функции \(f\) и \(g\) называют взаимно обратными, если выполняются два условия: 1) \(D(f) = E(g)\) и \(E(f) = D(g)\); 2) для любого \(x_0 \in D(f)\) из равенства \(f(x_0) = y_0\) следует, что \(g(y_0) = x_0\), то есть \(g(f(x_0)) = x_0\).

Говорят также, что функция \(g\) является обратной к функции \(f\), а функция \(f\) — обратной к функции \(g\). Например, взаимно обратными являются функции \(f(x) = 2x - 1\) и \(g(x) = \frac{x + 1}{2}\): обе определены на \(\mathbf{R}\), принимают все действительные значения, и \(g(f(x_0)) = \frac{2x_0 - 1 + 1}{2} = x_0\).

Функция, не являющаяся обратимой, обратной функции не имеет; любая обратимая функция обратную имеет.

Ответ: взаимно обратными называют функции \(f\) и \(g\), у которых \(D(f) = E(g)\), \(E(f) = D(g)\) и для любого \(x_0 \in D(f)\) выполняется равенство \(g(f(x_0)) = x_0\).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\).

Действительно, если точка \(M(a;\ b)\) принадлежит графику функции \(f\), то \(b = f(a)\), а тогда \(g(b) = a\), то есть точка \(N(b;\ a)\) принадлежит графику функции \(g\). При \(a = b\) точки \(M\) и \(N\) совпадают и лежат на прямой \(y = x\). При \(a \ne b\) имеем \(OM = ON = \sqrt{a^2 + b^2}\), поэтому точка \(O\) лежит на серединном перпендикуляре отрезка \(MN\); на прямой \(y = x\) лежит и середина отрезка \(MN\) — точка с координатами \(\left(\frac{a + b}{2};\ \frac{a + b}{2}\right)\). Значит, прямая \(y = x\) является серединным перпендикуляром отрезка \(MN\), то есть точки \(M\) и \(N\) симметричны относительно неё.

Ответ: графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y = x\).

Функция, обратная к возрастающей функции, является возрастающей; функция, обратная к убывающей функции, является убывающей.

Пусть функция \(f\) возрастает, а обратная к ней функция \(g\) возрастающей не является. Тогда нашлись бы такие \(y_1 \in D(g)\) и \(y_2 \in D(g)\), что из неравенства \(y_1 < y_2\) следовало бы неравенство \(g(y_1) \geqslant g(y_2)\). Обозначим \(g(y_1) = x_1\), \(g(y_2) = x_2\); тогда \(x_1 \geqslant x_2\), а из возрастания функции \(f\) получаем \(f(x_1) \geqslant f(x_2)\), то есть \(y_1 \geqslant y_2\). Получили противоречие.

Например, функция \(f(x) = x^2\), \(D(f) = [0;\ +\infty)\), возрастает, и обратная к ней функция \(y = \sqrt{x}\) тоже возрастает.

Ответ: обратная к возрастающей функции — возрастающая, обратная к убывающей — убывающая.