Страница 59 номер 6.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{|x + 2|}\); 2) \(y = (|x - 2| - 1)^2\); 3) \(y = \sqrt{|x - 1| + 2}\).
1) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x + 2|}.\]
Область определения — все действительные числа; наименьшее значение 0 в угловой точке \((-2;\ 0)\), ось симметрии — прямая \(x = -2\); точки \((-1;\ 1)\), \((-3;\ 1)\), \((2;\ 2)\), \((-6;\ 2)\).
2) Схема построения:
\[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (|x| - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (|x - 2| - 1)^2.\]
Модуль берут раньше сдвига: обратный порядок дал бы другой график. Нули \(x = 1\) и \(x = 3\), точка локального максимума \((2;\ 1)\), ось симметрии — прямая \(x = 2\); точки \((0;\ 1)\), \((4;\ 1)\), \((-1;\ 4)\), \((5;\ 4)\).
3) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 1| + 2}.\]
Область определения — все действительные числа; наименьшее значение \(\sqrt{2}\) в угловой точке \((1;\ \sqrt{2})\), ось симметрии — прямая \(x = 1\); точки \((-1;\ 2)\), \((3;\ 2)\), \((-6;\ 3)\), \((8;\ 3)\), обе ветви неограниченно возрастают.
Ответ: 1) линия с угловой точкой \((-2;\ 0)\), симметричная относительно прямой \(x = -2\), обе ветви которой неограниченно возрастают; 2) линия с нулями 1 и 3 и точкой локального максимума \((2;\ 1)\), симметричная относительно прямой \(x = 2\); 3) линия без нулей с наименьшим значением \(\sqrt{2}\) в угловой точке \((1;\ \sqrt{2})\), симметричная относительно прямой \(x = 1\).
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{|x + 2|}\); 2) \(y = (|x - 2| - 1)^2\); 3) \(y = \sqrt{|x - 1| + 2}\).
1) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x + 2|}.\]
Сначала строят график функции \(y = \sqrt{|x|}\): правую ветвь графика функции \(y = \sqrt{x}\) дополняют ветвью, симметричной ей относительно оси ординат. Затем полученную линию сдвигают влево на 2 ед. Область определения — все действительные числа; наименьшее значение 0 достигается в угловой точке \((-2;\ 0)\), прямая \(x = -2\) — ось симметрии графика. Он проходит через точки \((-1;\ 1)\), \((-3;\ 1)\), \((2;\ 2)\), \((-6;\ 2)\).
2) Схема построения:
\[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (|x| - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (|x - 2| - 1)^2.\]
Сначала строят график функции \(y = (|x| - 1)^2\) (правую часть параболы \(y = (x - 1)^2\) дополняют частью, симметричной ей относительно оси ординат), а потом сдвигают его вправо на 2 ед. Модуль берут раньше сдвига: обратный порядок дал бы другой график. Нули — \(x = 1\) и \(x = 3\), точка локального максимума — \((2;\ 1)\), прямая \(x = 2\) — ось симметрии; график проходит через точки \((0;\ 1)\), \((4;\ 1)\), \((-1;\ 4)\), \((5;\ 4)\).
3) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 1| + 2}.\]
График функции \(y = \sqrt{x}\) сдвигают влево на 2 ед., у полученной линии оставляют часть при \(x \geqslant 0\) и достраивают часть, симметричную ей относительно оси ординат, а затем сдвигают всё вправо на 1 ед. Область определения — все действительные числа; наименьшее значение \(\sqrt{2}\) достигается в угловой точке \((1;\ \sqrt{2})\), прямая \(x = 1\) — ось симметрии графика. Он проходит через точки \((-1;\ 2)\), \((3;\ 2)\), \((-6;\ 3)\), \((8;\ 3)\); обе ветви неограниченно возрастают.
Ответ: 1) линия с угловой точкой \((-2;\ 0)\), симметричная относительно прямой \(x = -2\), обе ветви которой неограниченно возрастают; 2) линия с нулями 1 и 3 и точкой локального максимума \((2;\ 1)\), симметричная относительно прямой \(x = 2\); 3) линия без нулей с наименьшим значением \(\sqrt{2}\) в угловой точке \((1;\ \sqrt{2})\), симметричная относительно прямой \(x = 1\).
