Страница 59 номер 6.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{|x - 3|}\); 2) \(y = \sqrt{|x - 2| - 3}\); 3) \(y = \frac{1}{|x - 1| - 4}\).
1) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 3|}.\]
Область определения — все действительные числа; наименьшее значение 0 в угловой точке \((3;\ 0)\), ось симметрии — прямая \(x = 3\); точки \((2;\ 1)\), \((4;\ 1)\), \((-1;\ 2)\), \((7;\ 2)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x - 3} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| - 3} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 2| - 3}.\]
\(\sqrt{|x - 2| - 3}\) имеет смысл при \(|x - 2| \geqslant 3\), то есть при \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 5\); область определения — \((-\infty;\ -1] \cup [5;\ +\infty)\): ветвь из точки \((-1;\ 0)\) поднимается влево, ветвь из точки \((5;\ 0)\) — вправо; точки \((-2;\ 1)\), \((6;\ 1)\), \((-5;\ 2)\), \((9;\ 2)\).
3) Схема построения: \[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x - 4} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{|x| - 4} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{|x - 1| - 4}.\]
Знаменатель равен нулю при \(|x - 1| = 4\), то есть при \(x = -3\) и \(x = 5\): область определения — все \(x \ne -3\) и \(x \ne 5\), асимптоты — прямые \(x = -3\), \(x = 5\) и \(y = 0\). На промежутке \((-3;\ 5)\) график ниже оси абсцисс, наибольшее значение \(-0{,}25\) при \(x = 1\); вне промежутка — выше оси абсцисс, точки \((-4;\ 1)\), \((6;\ 1)\), \((-5;\ 0{,}5)\), \((7;\ 0{,}5)\).
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{|x - 3|}\); 2) \(y = \sqrt{|x - 2| - 3}\); 3) \(y = \frac{1}{|x - 1| - 4}\).
1) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 3|}.\]
График функции \(y = \sqrt{|x|}\) сдвигают вправо на 3 ед. Область определения — все действительные числа; наименьшее значение 0 достигается в угловой точке \((3;\ 0)\), прямая \(x = 3\) — ось симметрии графика. Он проходит через точки \((2;\ 1)\), \((4;\ 1)\), \((-1;\ 2)\), \((7;\ 2)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x - 3} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| - 3} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 2| - 3}.\]
Сначала строят график функции \(y = \sqrt{|x| - 3}\) — две ветви с началами в точках \((-3;\ 0)\) и \((3;\ 0)\), — а затем сдвигают его вправо на 2 ед. Выражение \(\sqrt{|x - 2| - 3}\) имеет смысл при \(|x - 2| \geqslant 3\), то есть при \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 5\); область определения — \((-\infty;\ -1] \cup [5;\ +\infty)\). Одна ветвь начинается в точке \((-1;\ 0)\) и поднимается влево, другая начинается в точке \((5;\ 0)\) и поднимается вправо; график проходит через точки \((-2;\ 1)\), \((6;\ 1)\), \((-5;\ 2)\), \((9;\ 2)\).
3) Схема построения: \[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x - 4} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{|x| - 4} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{|x - 1| - 4}.\]
Сначала строят график функции \(y = \frac{1}{|x| - 4}\) с асимптотами \(x = -4\), \(x = 4\) и \(y = 0\), а затем сдвигают его вправо на 1 ед. Знаменатель обращается в нуль при \(|x - 1| = 4\), то есть при \(x = -3\) и при \(x = 5\); область определения — все \(x \ne -3\) и \(x \ne 5\), асимптоты — прямые \(x = -3\), \(x = 5\) и \(y = 0\). На промежутке \((-3;\ 5)\) график лежит ниже оси абсцисс, наибольшее значение \(-0{,}25\) достигается при \(x = 1\); вне этого промежутка график лежит выше оси абсцисс и проходит через точки \((-4;\ 1)\), \((6;\ 1)\), \((-5;\ 0{,}5)\), \((7;\ 0{,}5)\).
