Страница 59 номер 6.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = (|x| + 2)^2\); 2) \(y = \sqrt{|x| - 3}\); 3) \(y = \sqrt{2 - |x|}\).
1) Схема построения: \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x + 2)^2 \ \rightarrow \ y = (|x| + 2)^2.\]
Часть параболы \(y = (x + 2)^2\) с неотрицательными абсциссами начинается в точке \((0;\ 4)\); левую часть с вершиной \((-2;\ 0)\) отбрасывают. Наименьшее значение 4 при \(x = 0\), нулей нет; точки \((\pm 1;\ 9)\), \((\pm 2;\ 16)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x - 3} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| - 3}.\]
\(\sqrt{|x| - 3}\) имеет смысл при \(|x| \geqslant 3\), поэтому область определения — \((-\infty;\ -3] \cup [3;\ +\infty)\): ветвь из точки \((3;\ 0)\) поднимается вправо, ветвь из точки \((-3;\ 0)\) — влево; точки \((\pm 4;\ 1)\), \((\pm 7;\ 2)\), \((\pm 12;\ 3)\).
3) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{2 - |x|}.\]
Область определения — \([-2;\ 2]\); наибольшее значение \(\sqrt{2}\) при \(x = 0\), нули \(x = -2\) и \(x = 2\); точки \((\pm 1;\ 1)\).
Постройте график функции: 1) \(y = (|x| + 2)^2\); 2) \(y = \sqrt{|x| - 3}\); 3) \(y = \sqrt{2 - |x|}\).
1) Схема построения: \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x + 2)^2 \ \rightarrow \ y = (|x| + 2)^2.\]
Ту часть параболы \(y = (x + 2)^2\), точки которой имеют неотрицательные абсциссы, оставляют без изменений (она начинается в точке \((0;\ 4)\)), а левую часть вместе с вершиной \((-2;\ 0)\) отбрасывают и заменяют фигурой, симметричной оставленной части относительно оси ординат. Наименьшее значение 4 функция принимает при \(x = 0\), нулей нет; график проходит через точки \((\pm 1;\ 9)\), \((\pm 2;\ 16)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x - 3} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| - 3}.\]
Часть графика функции \(y = \sqrt{x - 3}\) при \(x \geqslant 0\) оставляют и отражают относительно оси ординат. Выражение \(\sqrt{|x| - 3}\) имеет смысл при \(|x| \geqslant 3\), поэтому область определения — \((-\infty;\ -3] \cup [3;\ +\infty)\), и график состоит из двух ветвей: одна начинается в точке \((3;\ 0)\) и поднимается вправо, вторая начинается в точке \((-3;\ 0)\) и поднимается влево. Он проходит через точки \((\pm 4;\ 1)\), \((\pm 7;\ 2)\), \((\pm 12;\ 3)\).
3) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{2 - |x|}.\]
График функции \(y = \sqrt{x}\) сдвигают влево на 2 ед. и отображают симметрично относительно оси ординат, а затем у полученного графика функции \(y = \sqrt{2 - x}\) оставляют часть при \(x \geqslant 0\) и достраивают симметричную ей часть. Область определения — \([-2;\ 2]\); наибольшее значение \(\sqrt{2}\) достигается при \(x = 0\), нули — \(x = -2\) и \(x = 2\). График проходит через точки \((\pm 1;\ 1)\).
