Страница 59 номер 6.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = (|x| - 1)^2\); 2) \(y = \sqrt{|x| + 2}\); 3) \(y = \frac{1}{|x| - 3}\).
1) Схема построения:
\[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (|x| - 1)^2.\]
Правую часть параболы \(y = (x - 1)^2\) дополняют частью, симметричной ей относительно оси ординат. Функция чётная; нули \(x = -1\) и \(x = 1\), точка локального максимума \((0;\ 1)\); точки \((\pm 2;\ 1)\), \((\pm 3;\ 4)\).
2) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| + 2}.\]
Область определения — все действительные числа; наименьшее значение \(\sqrt{2}\) при \(x = 0\), там же излом; нулей нет, точки \((\pm 2;\ 2)\), \((\pm 7;\ 3)\).
3) Схема построения:
\[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x - 3} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{|x| - 3}.\]
Область определения — все \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\); асимптоты — прямые \(x = -3\), \(x = 3\) и \(y = 0\). На промежутке \((-3;\ 3)\) график ниже оси абсцисс, наибольшее значение \(-\frac{1}{3}\) при \(x = 0\); при \(|x| > 3\) — выше оси абсцисс, точки \((\pm 4;\ 1)\), \((\pm 5;\ 0{,}5)\).
Ответ: 1) линия с нулями \(-1\) и 1 и точкой локального максимума \((0;\ 1)\), симметричная относительно оси ординат; 2) линия без нулей с наименьшим значением \(\sqrt{2}\) в точке излома \((0;\ \sqrt{2})\), симметричная относительно оси ординат; 3) линия с асимптотами \(x = -3\), \(x = 3\), \(y = 0\), лежащая при \(|x| < 3\) ниже оси абсцисс, а при \(|x| > 3\) — выше неё.
Постройте график функции: 1) \(y = (|x| - 1)^2\); 2) \(y = \sqrt{|x| + 2}\); 3) \(y = \frac{1}{|x| - 3}\).
1) Схема построения:
\[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (|x| - 1)^2.\]
Ту часть параболы \(y = (x - 1)^2\), точки которой имеют неотрицательные абсциссы, оставляют без изменений, а левую часть отбрасывают и заменяют фигурой, симметричной оставленной части относительно оси ординат. Функция чётная, ось ординат — ось симметрии её графика. Нули — \(x = -1\) и \(x = 1\), точка локального максимума — \((0;\ 1)\); график проходит через точки \((\pm 2;\ 1)\), \((\pm 3;\ 4)\).
2) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x + 2} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x| + 2}.\]
Часть графика функции \(y = \sqrt{x + 2}\) при \(x \geqslant 0\) оставляют, часть при \(-2 \leqslant x < 0\) отбрасывают и заменяют фигурой, симметричной оставленной части относительно оси ординат. Область определения — все действительные числа; наименьшее значение \(\sqrt{2}\) функция принимает при \(x = 0\), в этой точке график имеет излом. Он проходит через точки \((\pm 2;\ 2)\), \((\pm 7;\ 3)\), нулей нет.
3) Схема построения:
\[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x - 3} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{|x| - 3}.\]
Часть гиперболы \(y = \frac{1}{x - 3}\) при \(x \geqslant 0\) оставляют, остальное заменяют фигурой, симметричной ей относительно оси ординат. Область определения — все \(x \ne -3\) и \(x \ne 3\); асимптоты — прямые \(x = -3\), \(x = 3\) и \(y = 0\). На промежутке \((-3;\ 3)\) график лежит ниже оси абсцисс, наибольшее значение \(-\frac{1}{3}\) достигается при \(x = 0\); при \(|x| > 3\) график лежит выше оси абсцисс и проходит через точки \((\pm 4;\ 1)\), \((\pm 5;\ 0{,}5)\).
Ответ: 1) линия с нулями \(-1\) и 1 и точкой локального максимума \((0;\ 1)\), симметричная относительно оси ординат; 2) линия без нулей с наименьшим значением \(\sqrt{2}\) в точке излома \((0;\ \sqrt{2})\), симметричная относительно оси ординат; 3) линия с асимптотами \(x = -3\), \(x = 3\), \(y = 0\), лежащая при \(|x| < 3\) ниже оси абсцисс, а при \(|x| > 3\) — выше неё.
