Страница 59 номер 6.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = |\sqrt{x} - 1|\); 2) \(y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|\); 3) \(y = \left|\frac{x + 2}{x - 3}\right|\).
1) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x} - 1 \ \rightarrow \ y = |\sqrt{x} - 1|.\]
Часть линии \(y = \sqrt{x} - 1\) при \(0 \leqslant x < 1\) лежит ниже оси абсцисс — её отражают вверх. Область определения — \(x \geqslant 0\); график идёт из точки \((0;\ 1)\) вниз до точки \((1;\ 0)\), затем возрастает; точки \((4;\ 1)\), \((9;\ 2)\).
2) Схема построения:
\[y = \frac{4}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{4}{x - 2} \ \rightarrow \ y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|.\]
Асимптоты — прямые \(x = 2\) и \(y = 0\); ветвь при \(x < 2\) отражают вверх. Обе ветви лежат выше оси абсцисс; точки \((4;\ 2)\), \((6;\ 1)\), \((0;\ 2)\), \((-2;\ 1)\).
3) \(\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{(x - 3) + 5}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3}\).
Схема построения:
\[y = \frac{5}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{5}{x - 3} \ \rightarrow \ y = \frac{5}{x - 3} + 1 \ \rightarrow \ y = \left|\frac{x + 2}{x - 3}\right|.\]
Асимптоты — прямые \(x = 3\) и \(y = 1\), нуль \(x = -2\); часть при \(-2 < x < 3\) отражают вверх. Точки \((-7;\ 0{,}5)\), \((-2;\ 0)\), \((0;\ \frac{2}{3})\), \((8;\ 2)\).
Ответ: 1) линия с нулём \(x = 1\), идущая из точки \((0;\ 1)\) вниз до точки \((1;\ 0)\) и далее возрастающая; 2) две ветви, лежащие выше оси абсцисс, с асимптотами \(x = 2\) и \(y = 0\); 3) линия с нулём \(x = -2\) и асимптотами \(x = 3\), \(y = 1\), у которой часть при \(-2 < x < 3\) отражена вверх.
Постройте график функции: 1) \(y = |\sqrt{x} - 1|\); 2) \(y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|\); 3) \(y = \left|\frac{x + 2}{x - 3}\right|\).
1) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x} - 1 \ \rightarrow \ y = |\sqrt{x} - 1|.\]
График функции \(y = \sqrt{x}\) сдвигают вниз на 1 ед.; полученная линия начинается в точке \((0;\ -1)\) и пересекает ось абсцисс в точке \((1;\ 0)\). Часть при \(0 \leqslant x < 1\) лежит ниже оси абсцисс — её отражают вверх. Область определения — \(x \geqslant 0\); искомый график идёт из точки \((0;\ 1)\) вниз до точки \((1;\ 0)\), а затем возрастает и проходит через точки \((4;\ 1)\), \((9;\ 2)\).
2) Схема построения:
\[y = \frac{4}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{4}{x - 2} \ \rightarrow \ y = \left|\frac{4}{x - 2}\right|.\]
Гиперболу \(y = \frac{4}{x}\) сдвигают вправо на 2 ед.; асимптоты полученной гиперболы — прямые \(x = 2\) и \(y = 0\). Ветвь, лежащую при \(x < 2\) ниже оси абсцисс, отражают вверх. Обе ветви искомого графика лежат выше оси абсцисс; он проходит через точки \((4;\ 2)\), \((6;\ 1)\), \((0;\ 2)\), \((-2;\ 1)\).
3) Выделим целую часть дроби:
\[\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{(x - 3) + 5}{x - 3} = 1 + \frac{5}{x - 3}.\]
Схема построения:
\[y = \frac{5}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{5}{x - 3} \ \rightarrow \ y = \frac{5}{x - 3} + 1 \ \rightarrow \ y = \left|\frac{x + 2}{x - 3}\right|.\]
Гиперболу \(y = \frac{5}{x}\) сдвигают вправо на 3 ед. и вверх на 1 ед. У полученной гиперболы асимптоты — прямые \(x = 3\) и \(y = 1\), единственный нуль — \(x = -2\). Часть графика при \(-2 < x < 3\) лежит ниже оси абсцисс, её отражают вверх. Искомый график проходит через точки \((-7;\ 0{,}5)\), \((-2;\ 0)\), \((0;\ \frac{2}{3})\), \((8;\ 2)\).
Ответ: 1) линия с нулём \(x = 1\), идущая из точки \((0;\ 1)\) вниз до точки \((1;\ 0)\) и далее возрастающая; 2) две ветви, лежащие выше оси абсцисс, с асимптотами \(x = 2\) и \(y = 0\); 3) линия с нулём \(x = -2\) и асимптотами \(x = 3\), \(y = 1\), у которой часть при \(-2 < x < 3\) отражена вверх.
