Страница 59 номер 6.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = |x^2 - 1|\); 2) \(y = \left|\frac{2}{x - 1}\right|\); 3) \(y = \left|\frac{x - 4}{x + 1}\right|\).
1) Схема построения:
\[y = x^2 \ \rightarrow \ y = x^2 - 1 \ \rightarrow \ y = |x^2 - 1|.\]
Дугу параболы \(y = x^2 - 1\) с вершиной \((0;\ -1)\) отражают вверх: получается линия с нулями \(x = -1\) и \(x = 1\), точкой локального максимума \((0;\ 1)\) и изломами в нулях.
2) Схема построения:
\[y = \frac{2}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{2}{x - 1} \ \rightarrow \ y = \left|\frac{2}{x - 1}\right|.\]
Асимптоты — прямые \(x = 1\) и \(y = 0\); ветвь при \(x < 1\) отражают вверх. Обе ветви лежат выше оси абсцисс и приближаются к прямой \(y = 0\); точки \((2;\ 2)\), \((3;\ 1)\), \((0;\ 2)\), \((-1;\ 1)\).
3) \(\frac{x - 4}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 5}{x + 1} = 1 - \frac{5}{x + 1}\).
Схема построения:
\[\begin{aligned} &y = \frac{5}{x} \ \rightarrow \ y = -\frac{5}{x} \ \rightarrow \ y = -\frac{5}{x + 1} \ \rightarrow \\ &\rightarrow \ y = 1 - \frac{5}{x + 1} \ \rightarrow \ y = \left|\frac{x - 4}{x + 1}\right|. \end{aligned}\]
Асимптоты — прямые \(x = -1\) и \(y = 1\), нуль \(x = 4\); часть при \(-1 < x < 4\) отражают вверх. При \(x < -1\) и при \(x > 4\) ординаты приближаются к 1, при \(x \to -1\) ветви неограниченно возрастают; точки \((-6;\ 2)\), \((0;\ 4)\), \((4;\ 0)\), \((9;\ 0{,}5)\).
Ответ: 1) линия с нулями \(-1\) и 1 и точкой локального максимума \((0;\ 1)\), полученная отражением вверх дуги параболы \(y = x^2 - 1\), лежащей ниже оси абсцисс; 2) две ветви, лежащие выше оси абсцисс, с асимптотами \(x = 1\) и \(y = 0\); 3) линия с нулём \(x = 4\) и асимптотами \(x = -1\), \(y = 1\), у которой часть при \(-1 < x < 4\) отражена вверх.
Постройте график функции: 1) \(y = |x^2 - 1|\); 2) \(y = \left|\frac{2}{x - 1}\right|\); 3) \(y = \left|\frac{x - 4}{x + 1}\right|\).
1) Схема построения:
\[y = x^2 \ \rightarrow \ y = x^2 - 1 \ \rightarrow \ y = |x^2 - 1|.\]
Параболу \(y = x^2\) сдвигают вниз на 1 ед. Нули полученной параболы — \(x = -1\) и \(x = 1\), а её дуга с вершиной \((0;\ -1)\) лежит ниже оси абсцисс. Эту дугу отражают вверх, остальные части параболы оставляют без изменений. Получается линия с нулями \(x = -1\) и \(x = 1\) и точкой локального максимума \((0;\ 1)\); в нулях график имеет изломы.
2) Схема построения:
\[y = \frac{2}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{2}{x - 1} \ \rightarrow \ y = \left|\frac{2}{x - 1}\right|.\]
Гиперболу \(y = \frac{2}{x}\) сдвигают вправо на 1 ед.; асимптоты полученной гиперболы — прямые \(x = 1\) и \(y = 0\). Ветвь, лежащая при \(x < 1\) ниже оси абсцисс, отражается вверх. Обе ветви полученного графика лежат выше оси абсцисс и приближаются к прямой \(y = 0\); график проходит через точки \((2;\ 2)\), \((3;\ 1)\), \((0;\ 2)\), \((-1;\ 1)\).
3) Выделим целую часть дроби:
\[\frac{x - 4}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 5}{x + 1} = 1 - \frac{5}{x + 1}.\]
Схема построения:
\[\begin{aligned} &y = \frac{5}{x} \ \rightarrow \ y = -\frac{5}{x} \ \rightarrow \ y = -\frac{5}{x + 1} \ \rightarrow \\ &\rightarrow \ y = 1 - \frac{5}{x + 1} \ \rightarrow \ y = \left|\frac{x - 4}{x + 1}\right|. \end{aligned}\]
Гиперболу \(y = \frac{5}{x}\) отображают симметрично относительно оси абсцисс, сдвигают влево на 1 ед. и вверх на 1 ед. У полученной гиперболы асимптоты — прямые \(x = -1\) и \(y = 1\), единственный нуль — \(x = 4\). Часть графика при \(-1 < x < 4\) лежит ниже оси абсцисс, её отражают вверх. У искомого графика при \(x < -1\) и при \(x > 4\) ординаты приближаются к 1, а при \(x \to -1\) ветви неограниченно возрастают; график проходит через точки \((-6;\ 2)\), \((0;\ 4)\), \((4;\ 0)\), \((9;\ 0{,}5)\).
Ответ: 1) линия с нулями \(-1\) и 1 и точкой локального максимума \((0;\ 1)\), полученная отражением вверх дуги параболы \(y = x^2 - 1\), лежащей ниже оси абсцисс; 2) две ветви, лежащие выше оси абсцисс, с асимптотами \(x = 1\) и \(y = 0\); 3) линия с нулём \(x = 4\) и асимптотами \(x = -1\), \(y = 1\), у которой часть при \(-1 < x < 4\) отражена вверх.
