Страница 58 номер 6.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{5x}\); 2) \(y = \sqrt{-\frac{x}{3}}\); 3) \(y = (2x - 1)^2 - 4\); 4) \(y = \frac{1}{1 - 3x}\).
1) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{5x}.\]
\(k = 5 > 1\) — сжатие в 5 раз к оси ординат. Область определения — \(x \geqslant 0\); точки \((0;\ 0)\), \((0{,}2;\ 1)\), \((5;\ 5)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-\frac{x}{3}}.\]
Симметрия относительно оси ординат, затем растяжение в 3 раза от оси ординат. Область определения — \(x \leqslant 0\); точки \((0;\ 0)\), \((-3;\ 1)\), \((-12;\ 2)\).
3) Схема построения: \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 - 4.\]
Вершина — \((0{,}5;\ -4)\), ось симметрии — прямая \(x = 0{,}5\).
Нули: \((2x - 1)^2 = 4\); \(2x - 1 = 2\) или \(2x - 1 = -2\), откуда \(x = 1{,}5\) или \(x = -0{,}5\).
4) Схема построения: \[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x + 1} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{-x + 1} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{1 - 3x}.\]
Область определения — все \(x \ne \frac{1}{3}\); асимптоты — прямые \(x = \frac{1}{3}\) и \(y = 0\). При \(x < \frac{1}{3}\) график выше оси абсцисс, при \(x > \frac{1}{3}\) — ниже неё; точки \((0;\ 1)\), \((-\frac{1}{3};\ 0{,}5)\), \((1;\ -0{,}5)\).
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{5x}\); 2) \(y = \sqrt{-\frac{x}{3}}\); 3) \(y = (2x - 1)^2 - 4\); 4) \(y = \frac{1}{1 - 3x}\).
1) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{5x}.\]
Здесь \(k = 5 > 1\), поэтому график функции \(y = \sqrt{x}\) сжимают в 5 раз к оси ординат: ордината каждой точки сохраняется, а абсцисса уменьшается в 5 раз. Область определения — \(x \geqslant 0\); график проходит через точки \((0;\ 0)\), \((0{,}2;\ 1)\), \((5;\ 5)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-\frac{x}{3}}.\]
Сначала график функции \(y = \sqrt{x}\) отображают симметрично относительно оси ординат, а затем полученный график растягивают в 3 раза от оси ординат. Область определения — \(x \leqslant 0\); график проходит через точки \((0;\ 0)\), \((-3;\ 1)\), \((-12;\ 2)\).
3) Схема построения: \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 - 4.\]
Параболу \(y = x^2\) сдвигают вправо на 1 ед., затем сжимают в 2 раза к оси ординат, затем сдвигают вниз на 4 ед. Вершина полученной параболы — точка \((0{,}5;\ -4)\), ось симметрии — прямая \(x = 0{,}5\). Нули находим из уравнения \((2x - 1)^2 = 4\): \(2x - 1 = 2\) или \(2x - 1 = -2\), откуда \(x = 1{,}5\) или \(x = -0{,}5\).
4) Схема построения: \[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x + 1} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{-x + 1} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{1 - 3x}.\]
Гиперболу \(y = \frac{1}{x}\) сдвигают влево на 1 ед., полученный график отображают симметрично относительно оси ординат и сжимают в 3 раза к оси ординат. Область определения — все \(x \ne \frac{1}{3}\); асимптоты — прямые \(x = \frac{1}{3}\) и \(y = 0\). При \(x < \frac{1}{3}\) график лежит выше оси абсцисс, при \(x > \frac{1}{3}\) — ниже неё; он проходит через точки \((0;\ 1)\), \((-\frac{1}{3};\ 0{,}5)\), \((1;\ -0{,}5)\).
