Страница 58 номер 6.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{\frac{x}{5}}\); 2) \(y = \sqrt{-2x}\); 3) \(y = (2x - 1)^2 - 4\); 4) \(y = \frac{1}{4x + 1}\).
1) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{\frac{x}{5}}.\]
\(k = \frac{1}{5}\), \(0 < k < 1\) — растяжение в 5 раз от оси ординат. Область определения — \(x \geqslant 0\); точки \((0;\ 0)\), \((5;\ 1)\), \((20;\ 2)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-2x}.\]
Симметрия относительно оси ординат, затем сжатие в 2 раза к оси ординат. Область определения — \(x \leqslant 0\); точки \((0;\ 0)\), \((-0{,}5;\ 1)\), \((-2;\ 2)\), \((-8;\ 4)\).
3) Схема построения: \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 - 4.\]
Вершина — \((0{,}5;\ -4)\), ось симметрии — прямая \(x = 0{,}5\).
Нули: \((2x - 1)^2 = 4\); \(2x - 1 = 2\) или \(2x - 1 = -2\), откуда \(x = 1{,}5\) или \(x = -0{,}5\).
4) Схема построения: \[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x + 1} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{4x + 1}.\]
Область определения — все \(x \ne -0{,}25\); асимптоты — прямые \(x = -0{,}25\) и \(y = 0\); точки \((0;\ 1)\), \((0{,}25;\ 0{,}5)\), \((-0{,}5;\ -1)\).
Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{\frac{x}{5}}\); 2) \(y = \sqrt{-2x}\); 3) \(y = (2x - 1)^2 - 4\); 4) \(y = \frac{1}{4x + 1}\).
1) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{\frac{x}{5}}.\]
Здесь \(k = \frac{1}{5}\) и \(0 < k < 1\), поэтому график функции \(y = \sqrt{x}\) растягивают в 5 раз от оси ординат: ордината каждой точки сохраняется, а абсцисса увеличивается в 5 раз. Область определения — \(x \geqslant 0\); график проходит через точки \((0;\ 0)\), \((5;\ 1)\), \((20;\ 2)\).
2) Схема построения: \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-2x}.\]
Сначала график функции \(y = \sqrt{x}\) отображают симметрично относительно оси ординат, а потом полученный график сжимают в 2 раза к оси ординат. Область определения — \(x \leqslant 0\); график проходит через точки \((0;\ 0)\), \((-0{,}5;\ 1)\), \((-2;\ 2)\), \((-8;\ 4)\).
3) Схема построения: \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 \ \rightarrow \ y = (2x - 1)^2 - 4.\]
Параболу \(y = x^2\) сдвигают вправо на 1 ед., затем сжимают в 2 раза к оси ординат, затем сдвигают вниз на 4 ед. Вершина полученной параболы — точка \((0{,}5;\ -4)\), ось симметрии — прямая \(x = 0{,}5\). Нули находим из уравнения \((2x - 1)^2 = 4\): \(2x - 1 = 2\) или \(2x - 1 = -2\), откуда \(x = 1{,}5\) или \(x = -0{,}5\).
4) Схема построения: \[y = \frac{1}{x} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{x + 1} \ \rightarrow \ y = \frac{1}{4x + 1}.\]
Гиперболу \(y = \frac{1}{x}\) сдвигают влево на 1 ед., а затем сжимают в 4 раза к оси ординат. Область определения — все \(x \ne -0{,}25\); асимптоты — прямые \(x = -0{,}25\) и \(y = 0\). График проходит через точки \((0;\ 1)\), \((0{,}25;\ 0{,}5)\), \((-0{,}5;\ -1)\).
