Страница 60 номер 6.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x - a| - 2| = 2 - x\) имеет единственный корень?
Замена \(x - a = t\): тогда \(x = t + a\) и уравнение принимает вид \[\bigl|3|t| - 2\bigr| = 2 - t - a.\]
Замена не меняет числа корней, а параметр остаётся только в правой части.
\(f(t) = \bigl|3|t| - 2\bigr|\): \[y = 3t - 2 \ \rightarrow \ y = 3|t| - 2 \ \rightarrow \ y = \bigl|3|t| - 2\bigr|.\]
Это ломаная с нулями \(t = -\frac{2}{3}\), \(t = \frac{2}{3}\) и точкой локального максимума \((0;\ 2)\); внешние звенья — лучи с угловыми коэффициентами \(-3\) и 3. Прямая \(y = 2 - a - t\) с угловым коэффициентом \(-1\) при изменении \(a\) перемещается параллельно самой себе.
Угловой коэффициент прямой больше углового коэффициента левого луча, поэтому самое низкое её положение с общими точками — то, при котором она проходит через точку \(\left(-\frac{2}{3};\ 0\right)\), и в нём общая точка одна: ниже общих точек нет, а выше прямая пересекает и левый луч, и звено, идущее к точке \(\left(-\frac{2}{3};\ 0\right)\), то есть их не меньше двух. Значит, \[\begin{gathered} 2 - a + \frac{2}{3} = 0; \\ a = \frac{8}{3}. \end{gathered}\]
При \(a = \frac{8}{3}\) имеем \(t = -\frac{2}{3}\), откуда \(x = t + a = -\frac{2}{3} + \frac{8}{3} = 2\) — единственный корень.
Ответ: \(a = \frac{8}{3}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x - a| - 2| = 2 - x\) имеет единственный корень?
Обозначим \(x - a = t\). Тогда \(x = t + a\), и уравнение принимает вид \[\bigl|3|t| - 2\bigr| = 2 - t - a.\]
Каждому корню \(x\) отвечает ровно одно значение \(t\), и наоборот, поэтому при такой замене число корней не меняется, а параметр остаётся только в правой части.
Рассмотрим функцию \(f(t) = \bigl|3|t| - 2\bigr|\) и построим её график по схеме \[y = 3t - 2 \ \rightarrow \ y = 3|t| - 2 \ \rightarrow \ y = \bigl|3|t| - 2\bigr|.\]
Это ломаная с нулями \(t = -\frac{2}{3}\), \(t = \frac{2}{3}\) и точкой локального максимума \((0;\ 2)\); её внешние звенья — лучи с угловыми коэффициентами \(-3\) и 3.
Рассмотрим функцию \(g(t) = 2 - a - t\). Её графиком является прямая с угловым коэффициентом \(-1\), которая при изменении \(a\) перемещается параллельно самой себе.
Угловой коэффициент прямой больше углового коэффициента левого луча ломаной, поэтому самое низкое положение прямой, при котором у неё вообще есть общие точки с ломаной, — то, при котором она проходит через точку \(\left(-\frac{2}{3};\ 0\right)\); в этом положении общая точка ровно одна. В любом более низком положении общих точек нет, а в любом более высоком прямая пересекает и левый луч, и звено, идущее к точке \(\left(-\frac{2}{3};\ 0\right)\), то есть общих точек не меньше двух.
Значит, единственный корень получается тогда, когда прямая проходит через точку \(\left(-\frac{2}{3};\ 0\right)\): \[\begin{gathered} 2 - a + \frac{2}{3} = 0; \\ a = \frac{8}{3}. \end{gathered}\]
При \(a = \frac{8}{3}\) имеем \(t = -\frac{2}{3}\), откуда \(x = t + a = -\frac{2}{3} + \frac{8}{3} = 2\) — единственный корень.
Ответ: \(a = \frac{8}{3}\).
