Страница 60 номер 6.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|2|x + a| - 1| = x - 1\) имеет единственный корень?
Замена \(x + a = t\): тогда \(x = t - a\) и уравнение принимает вид \[\bigl|2|t| - 1\bigr| = t - a - 1.\]
Замена не меняет числа корней, а параметр остаётся только в правой части.
\(f(t) = \bigl|2|t| - 1\bigr|\): \[y = 2t - 1 \ \rightarrow \ y = 2|t| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl|2|t| - 1\bigr|.\]
Это ломаная с нулями \(t = -\frac{1}{2}\), \(t = \frac{1}{2}\) и точкой локального максимума \((0;\ 1)\); внешние звенья — лучи с угловыми коэффициентами \(-2\) и 2. Прямая \(y = t - a - 1\) с угловым коэффициентом 1 при изменении \(a\) перемещается параллельно самой себе.
Угловой коэффициент прямой меньше углового коэффициента правого луча, поэтому самое низкое её положение с общими точками — то, при котором она проходит через точку \(\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\), и в нём общая точка одна: ниже общих точек нет, а выше прямая пересекает и правый луч, и звено, идущее к точке \(\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\), то есть их не меньше двух. Значит, \[\begin{gathered} \frac{1}{2} - a - 1 = 0; \\ a = -\frac{1}{2}. \end{gathered}\]
При \(a = -\frac{1}{2}\) имеем \(t = \frac{1}{2}\), откуда \(x = t - a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) — единственный корень.
Ответ: \(a = -\frac{1}{2}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|2|x + a| - 1| = x - 1\) имеет единственный корень?
Обозначим \(x + a = t\). Тогда \(x = t - a\), и уравнение принимает вид \[\bigl|2|t| - 1\bigr| = t - a - 1.\]
Каждому корню \(x\) отвечает ровно одно значение \(t\), и наоборот, поэтому при такой замене число корней не меняется, а параметр остаётся только в правой части.
Рассмотрим функцию \(f(t) = \bigl|2|t| - 1\bigr|\) и построим её график по схеме \[y = 2t - 1 \ \rightarrow \ y = 2|t| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl|2|t| - 1\bigr|.\]
Это ломаная с нулями \(t = -\frac{1}{2}\), \(t = \frac{1}{2}\) и точкой локального максимума \((0;\ 1)\); её внешние звенья — лучи с угловыми коэффициентами \(-2\) и 2.
Рассмотрим функцию \(g(t) = t - a - 1\). Её графиком является прямая с угловым коэффициентом 1, которая при изменении \(a\) перемещается параллельно самой себе.
Угловой коэффициент прямой меньше углового коэффициента правого луча ломаной, поэтому самое низкое положение прямой, при котором у неё вообще есть общие точки с ломаной, — то, при котором она проходит через точку \(\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\); в этом положении общая точка ровно одна. В любом более низком положении общих точек нет, а в любом более высоком прямая пересекает и правый луч, и звено, идущее к точке \(\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\), то есть общих точек не меньше двух.
Значит, единственный корень получается тогда, когда прямая проходит через точку \(\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\): \[\begin{gathered} \frac{1}{2} - a - 1 = 0; \\ a = -\frac{1}{2}. \end{gathered}\]
При \(a = -\frac{1}{2}\) имеем \(t = \frac{1}{2}\), откуда \(x = t - a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\) — единственный корень.
Ответ: \(a = -\frac{1}{2}\).
