Страница 59 номер 6.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x + 1| - 2| = a - x\) имеет 3 корня?
\(f(x) = \bigl|3|x + 1| - 2\bigr|\): \[y = 3x - 2 \ \rightarrow \ y = 3|x| - 2 \ \rightarrow \ y = \bigl|3|x| - 2\bigr| \ \rightarrow \ y = \bigl|3|x + 1| - 2\bigr|.\]
У ломаной \(y = \bigl|3|x| - 2\bigr|\) нули \(x = -\frac{2}{3}\), \(x = \frac{2}{3}\) и точка локального максимума \((0;\ 2)\); после сдвига влево на 1 ед. нули \(x = -\frac{5}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\), точка локального максимума \((-1;\ 2)\), внешние звенья — лучи с угловыми коэффициентами \(-3\) и 3.
Прямая \(y = a - x\) с угловым коэффициентом \(-1\) при изменении \(a\) перемещается параллельно самой себе и пересекает каждое звено не более чем в одной точке, поэтому при её подъёме число общих точек меняется так: их нет, одна (прямая проходит через точку \(\left(-\frac{5}{3};\ 0\right)\)), две, три, четыре, снова три, две. Значит, три общие точки — в двух положениях: прямая проходит через точку \(\left(-\frac{1}{3};\ 0\right)\) или через точку \((-1;\ 2)\): \[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} a + \frac{1}{3} = 0, \\ a + 1 = 2; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} a = -\frac{1}{3}, \\ a = 1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
При \(a = -\frac{1}{3}\) корни — числа \(-\frac{7}{3}\), \(-\frac{4}{3}\), \(-\frac{1}{3}\), при \(a = 1\) — числа \(-3\), \(-1\), 0.
Ответ: \(a = 1\) или \(a = -\frac{1}{3}\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(|3|x + 1| - 2| = a - x\) имеет 3 корня?
Рассмотрим функцию \(f(x) = \bigl|3|x + 1| - 2\bigr|\). Построим её график по схеме \[y = 3x - 2 \ \rightarrow \ y = 3|x| - 2 \ \rightarrow \ y = \bigl|3|x| - 2\bigr| \ \rightarrow \ y = \bigl|3|x + 1| - 2\bigr|.\]
График функции \(y = \bigl|3|x| - 2\bigr|\) — ломаная с нулями \(x = -\frac{2}{3}\), \(x = \frac{2}{3}\) и точкой локального максимума \((0;\ 2)\). Сдвинув её влево на 1 ед., получаем ломаную с нулями \(x = -\frac{5}{3}\), \(x = -\frac{1}{3}\) и точкой локального максимума \((-1;\ 2)\); её внешние звенья — лучи с угловыми коэффициентами \(-3\) и 3.
Рассмотрим функцию \(g(x) = a - x\). Её графиком является прямая с угловым коэффициентом \(-1\), которая при изменении \(a\) перемещается параллельно самой себе.
Задача сводится к тому, чтобы найти такие положения прямой \(y = a - x\), при которых графики функций \(f\) и \(g\) имеют три общие точки. Прямая пересекает каждое звено ломаной не более чем в одной точке, и при подъёме прямой число общих точек меняется так: сначала их нет, затем одна (прямая проходит через точку \(\left(-\frac{5}{3};\ 0\right)\)), затем две, три, четыре, снова три и, наконец, две. Значит, три общие точки получаются ровно в двух положениях: когда прямая проходит через точку \(\left(-\frac{1}{3};\ 0\right)\) и когда она проходит через точку \((-1;\ 2)\). Имеем: \[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} a + \frac{1}{3} = 0, \\ a + 1 = 2; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} a = -\frac{1}{3}, \\ a = 1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
При \(a = -\frac{1}{3}\) корни уравнения — числа \(-\frac{7}{3}\), \(-\frac{4}{3}\), \(-\frac{1}{3}\), а при \(a = 1\) — числа \(-3\), \(-1\), 0.
Ответ: \(a = 1\) или \(a = -\frac{1}{3}\).
