Страница 59 номер 6.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(||x - 1| - 1| = x - a\) имеет бесконечно много корней?
\(f(x) = \bigl||x - 1| - 1\bigr|\): \[y = x - 1 \ \rightarrow \ y = |x - 1| \ \rightarrow \ y = |x - 1| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl||x - 1| - 1\bigr|.\]
У ломаной \(y = |x - 1| - 1\) вершина \((1;\ -1)\) и нули \(x = 0\), \(x = 2\); часть ниже оси абсцисс отражают вверх — получается ломаная из четырёх звеньев:
при \(x \leqslant 0\) — луч \(y = -x\);
при \(0 \leqslant x \leqslant 1\) — отрезок \(y = x\);
при \(1 \leqslant x \leqslant 2\) — отрезок \(y = 2 - x\);
при \(x \geqslant 2\) — луч \(y = x - 2\).
Каждое звено ломаной — часть прямой, поэтому у прямой \(y = x - a\) и ломаной бесконечно много общих точек только тогда, когда прямая содержит целое звено; угловой коэффициент 1 имеют лишь отрезок \(y = x\) при \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и луч \(y = x - 2\) при \(x \geqslant 2\): \[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} -a = 0, \\ -a = -2; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} a = 0, \\ a = 2. \end{array}\right. \end{gathered}\]
При \(a = 0\) корень — каждое число промежутка \([0;\ 1]\), при \(a = 2\) — каждое число промежутка \([2;\ +\infty)\).
Ответ: \(a = 0\) или \(a = 2\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(||x - 1| - 1| = x - a\) имеет бесконечно много корней?
Рассмотрим функцию \(f(x) = \bigl||x - 1| - 1\bigr|\). Построим её график по схеме \[y = x - 1 \ \rightarrow \ y = |x - 1| \ \rightarrow \ y = |x - 1| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl||x - 1| - 1\bigr|.\]
График функции \(y = |x - 1| - 1\) — ломаная с вершиной \((1;\ -1)\) и нулями \(x = 0\), \(x = 2\). Её часть, лежащую ниже оси абсцисс, отражают вверх. Полученная ломаная состоит из четырёх звеньев:
при \(x \leqslant 0\) — луч \(y = -x\);
при \(0 \leqslant x \leqslant 1\) — отрезок \(y = x\);
при \(1 \leqslant x \leqslant 2\) — отрезок \(y = 2 - x\);
при \(x \geqslant 2\) — луч \(y = x - 2\).
Рассмотрим функцию \(g(x) = x - a\). Её графиком является прямая с угловым коэффициентом 1.
Каждое звено ломаной — часть прямой, поэтому у прямой \(y = x - a\) и ломаной бесконечно много общих точек только тогда, когда прямая содержит целое звено. Угловой коэффициент 1 имеют лишь два звена: отрезок \(y = x\) при \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и луч \(y = x - 2\) при \(x \geqslant 2\). Значит, прямая \(y = x - a\) должна совпадать с прямой \(y = x\) или с прямой \(y = x - 2\). Имеем: \[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} -a = 0, \\ -a = -2; \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} a = 0, \\ a = 2. \end{array}\right. \end{gathered}\]
При \(a = 0\) корнем является каждое число промежутка \([0;\ 1]\), а при \(a = 2\) — каждое число промежутка \([2;\ +\infty)\).
Ответ: \(a = 0\) или \(a = 2\).
