Страница 59 номер 6.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. §6. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Страница 59. Номер 6.13

Задание / условие:

Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{2|x| - 1}\); 2) \(y = \sqrt{1 - 3|x|}\); 3) \(y = \sqrt{|2x - 1|}\).

Решение:

1) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x - 1} \ \rightarrow \ y = \sqrt{2x - 1} \ \rightarrow \ y = \sqrt{2|x| - 1}.\]

\(\sqrt{2|x| - 1}\) имеет смысл при \(|x| \geqslant 0{,}5\), поэтому область определения — \((-\infty;\ -0{,}5] \cup [0{,}5;\ +\infty)\): ветвь из точки \((0{,}5;\ 0)\) поднимается вправо, ветвь из точки \((-0{,}5;\ 0)\) — влево; точки \((\pm 1;\ 1)\), \((\pm 2{,}5;\ 2)\).

2) Схема построения:
\[\begin{aligned} &y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x + 1} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x + 1} \ \rightarrow \\ &\rightarrow \ y = \sqrt{1 - 3x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{1 - 3|x|}. \end{aligned}\]

\(\sqrt{1 - 3|x|}\) имеет смысл при \(|x| \leqslant \frac{1}{3}\), поэтому область определения — \(\left[-\frac{1}{3};\ \frac{1}{3}\right]\), а график — дуга с концами \(\left(-\frac{1}{3};\ 0\right)\) и \(\left(\frac{1}{3};\ 0\right)\) и наибольшим значением 1 при \(x = 0\); точки \((\pm 0{,}25;\ 0{,}5)\).

3) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 1|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|2x - 1|}.\]

Область определения — все действительные числа; наименьшее значение 0 в угловой точке \((0{,}5;\ 0)\), ось симметрии — прямая \(x = 0{,}5\); точки \((0;\ 1)\), \((1;\ 1)\), \((-1{,}5;\ 2)\), \((2{,}5;\ 2)\).

график

Ответ: 1) две ветви с началами в точках \((-0{,}5;\ 0)\) и \((0{,}5;\ 0)\), определённые на промежутках \((-\infty;\ -0{,}5]\) и \([0{,}5;\ +\infty)\); 2) дуга с концами \(\left(-\frac{1}{3};\ 0\right)\) и \(\left(\frac{1}{3};\ 0\right)\) и наибольшим значением 1 в точке \((0;\ 1)\); 3) линия с угловой точкой \((0{,}5;\ 0)\), симметричная относительно прямой \(x = 0{,}5\).

Задание / условие:

Постройте график функции: 1) \(y = \sqrt{2|x| - 1}\); 2) \(y = \sqrt{1 - 3|x|}\); 3) \(y = \sqrt{|2x - 1|}\).

Решение:

1) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x - 1} \ \rightarrow \ y = \sqrt{2x - 1} \ \rightarrow \ y = \sqrt{2|x| - 1}.\]

График функции \(y = \sqrt{x}\) сдвигают вправо на 1 ед. и сжимают в 2 раза к оси ординат, а у полученного графика функции \(y = \sqrt{2x - 1}\) оставляют часть при \(x \geqslant 0\) и достраивают часть, симметричную ей относительно оси ординат. Выражение \(\sqrt{2|x| - 1}\) имеет смысл при \(|x| \geqslant 0{,}5\), поэтому область определения — \((-\infty;\ -0{,}5] \cup [0{,}5;\ +\infty)\), и график состоит из двух ветвей: одна начинается в точке \((0{,}5;\ 0)\) и поднимается вправо, вторая начинается в точке \((-0{,}5;\ 0)\) и поднимается влево. Он проходит через точки \((\pm 1;\ 1)\), \((\pm 2{,}5;\ 2)\).

График функции \(y = \sqrt{x}\) сдвигают влево на 1 ед., отображают симметрично относительно оси ординат и сжимают в 3 раза к оси ординат, а затем у полученного графика функции \(y = \sqrt{1 - 3x}\) оставляют часть при \(x \geqslant 0\) и достраивают симметричную ей часть. Выражение \(\sqrt{1 - 3|x|}\) имеет смысл при \(|x| \leqslant \frac{1}{3}\), поэтому область определения — \(\left[-\frac{1}{3};\ \frac{1}{3}\right]\), и график — дуга с концами \(\left(-\frac{1}{3};\ 0\right)\) и \(\left(\frac{1}{3};\ 0\right)\) и наибольшим значением 1 при \(x = 0\); она проходит через точки \((\pm 0{,}25;\ 0{,}5)\).

3) Схема построения:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|x - 1|} \ \rightarrow \ y = \sqrt{|2x - 1|}.\]

График функции \(y = \sqrt{|x|}\) сдвигают вправо на 1 ед., а полученный график сжимают в 2 раза к оси ординат. Область определения — все действительные числа; наименьшее значение 0 достигается в угловой точке \((0{,}5;\ 0)\), прямая \(x = 0{,}5\) — ось симметрии графика. Он проходит через точки \((0;\ 1)\), \((1;\ 1)\), \((-1{,}5;\ 2)\), \((2{,}5;\ 2)\).

график