Страница 59 номер 6.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. §6. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Страница 59. Номер 6.12

Задание / условие:

Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра \(a\): 1) \(|x^2 - 1| = a\); 2) \(|(x + 2)^2 - 3| = a\); 3) \(|(|x| - 2)^2 - 3| = a\)?

Решение:

1) \(f(x) = |x^2 - 1|\): \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = x^2 - 1 \ \rightarrow \ y = |x^2 - 1|.\]

У параболы \(y = x^2 - 1\) вершина \((0;\ -1)\) и нули \(-1\) и 1; дугу ниже оси абсцисс отражают вверх — линия с нулями \(-1\) и 1 и точкой локального максимума \((0;\ 1)\).

Число корней — число общих точек с прямой \(y = a\):
\(a < 0\) — корней нет;
\(a = 0\) — 2 корня;
\(0 < a < 1\) — все четыре дуги, 4 корня;
\(a = 1\) — точка локального максимума \((0;\ 1)\) и две внешние ветви, 3 корня;
\(a > 1\) — 2 корня.

2) \(f(x) = |(x + 2)^2 - 3|\): \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x + 2)^2 \ \rightarrow \ y = (x + 2)^2 - 3 \ \rightarrow \ y = |(x + 2)^2 - 3|.\]

У параболы \(y = (x + 2)^2 - 3\) вершина \((-2;\ -3)\); нули: \((x + 2)^2 = 3\), откуда \(x = -2 - \sqrt{3}\) или \(x = -2 + \sqrt{3}\). Дугу ниже оси абсцисс отражают вверх — линия с теми же нулями и точкой локального максимума \((-2;\ 3)\).

Число корней — число общих точек с прямой \(y = a\):
\(a < 0\) — корней нет;
\(a = 0\) — 2 корня;
\(0 < a < 3\) — 4 корня;
\(a = 3\) — точка локального максимума \((-2;\ 3)\) и две внешние ветви, 3 корня;
\(a > 3\) — 2 корня.

3) \(f(x) = \bigl|(|x| - 2)^2 - 3\bigr|\): \[y = (x - 2)^2 - 3 \ \rightarrow \ y = (|x| - 2)^2 - 3 \ \rightarrow \ y = \bigl|(|x| - 2)^2 - 3\bigr|.\]

У параболы \(y = (x - 2)^2 - 3\) вершина \((2;\ -3)\) и нули \(2 - \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\); график функции \(y = (|x| - 2)^2 - 3\) чётный: точки минимума \((\pm 2;\ -3)\), нули \(\pm(2 - \sqrt{3})\) и \(\pm(2 + \sqrt{3})\), при \(x = 0\) значение равно 1. После отражения вверх частей ниже оси абсцисс — линия с четырьмя нулями \(\pm(2 - \sqrt{3})\), \(\pm(2 + \sqrt{3})\), точками локального максимума \((\pm 2;\ 3)\) и точкой локального максимума \((0;\ 1)\) между внутренними нулями; при \(|x| > 2 + \sqrt{3}\) ветви неограниченно возрастают.

Число корней — число общих точек с прямой \(y = a\):
\(a < 0\) — корней нет;
\(a = 0\) — четыре нуля, 4 корня;
\(0 < a < 1\) — каждая из восьми дуг по разу, 8 корней;
\(a = 1\) — точка \((0;\ 1)\) и шесть дуг, 7 корней;
\(1 < a < 3\) — среднюю дугу прямая уже не пересекает, 6 корней;
\(a = 3\) — точки локального максимума \((\pm 2;\ 3)\) и две внешние ветви, 4 корня;
\(a > 3\) — только внешние ветви, 2 корня.

график

Ответ: 1) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a = 0\) или \(a > 1\), то 2 корня; если \(0 < a < 1\), то 4 корня; если \(a = 1\), то 3 корня; 2) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a = 0\) или \(a > 3\), то 2 корня; если \(0 < a < 3\), то 4 корня; если \(a = 3\), то 3 корня; 3) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a = 0\) или \(a = 3\), то 4 корня; если \(0 < a < 1\), то 8 корней; если \(a = 1\), то 7 корней; если \(1 < a < 3\), то 6 корней; если \(a > 3\), то 2 корня.

Задание / условие:

Решение:

1) Построим график функции \(f(x) = |x^2 - 1|\) по схеме \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = x^2 - 1 \ \rightarrow \ y = |x^2 - 1|.\]

Парабола \(y = x^2 - 1\) имеет вершину \((0;\ -1)\) и нули \(-1\) и 1. Дугу, лежащую ниже оси абсцисс, отражают вверх и получают линию с нулями \(-1\) и 1 и точкой локального максимума \((0;\ 1)\).

Число корней уравнения равно числу общих точек этой линии и прямой \(y = a\):
если \(a < 0\), то корней нет;
если \(a = 0\), то 2 корня;
если \(0 < a < 1\), то прямая пересекает все четыре дуги — 4 корня;
если \(a = 1\), то прямая проходит через точку локального максимума \((0;\ 1)\) и пересекает две внешние ветви — 3 корня;
если \(a > 1\), то 2 корня.

2) Построим график функции \(f(x) = |(x + 2)^2 - 3|\) по схеме \[y = x^2 \ \rightarrow \ y = (x + 2)^2 \ \rightarrow \ y = (x + 2)^2 - 3 \ \rightarrow \ y = |(x + 2)^2 - 3|.\]

Парабола \(y = (x + 2)^2 - 3\) имеет вершину \((-2;\ -3)\); её нули находим из уравнения \((x + 2)^2 = 3\): \(x = -2 - \sqrt{3}\) или \(x = -2 + \sqrt{3}\). Дугу, лежащую ниже оси абсцисс, отражают вверх; получается линия с теми же нулями и точкой локального максимума \((-2;\ 3)\).

Число корней уравнения равно числу общих точек этой линии и прямой \(y = a\):
если \(a < 0\), то корней нет;
если \(a = 0\), то 2 корня;
если \(0 < a < 3\), то 4 корня;
если \(a = 3\), то прямая проходит через точку локального максимума \((-2;\ 3)\) и пересекает две внешние ветви — 3 корня;
если \(a > 3\), то 2 корня.

3) Построим график функции \(f(x) = \bigl|(|x| - 2)^2 - 3\bigr|\) по схеме \[y = (x - 2)^2 - 3 \ \rightarrow \ y = (|x| - 2)^2 - 3 \ \rightarrow \ y = \bigl|(|x| - 2)^2 - 3\bigr|.\]

Парабола \(y = (x - 2)^2 - 3\) имеет вершину \((2;\ -3)\) и нули \(2 - \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\). График функции \(y = (|x| - 2)^2 - 3\) чётный: у него точки минимума \((\pm 2;\ -3)\), нули \(\pm(2 - \sqrt{3})\) и \(\pm(2 + \sqrt{3})\), а при \(x = 0\) значение равно 1. После отражения вверх частей, лежащих ниже оси абсцисс, получаем линию с четырьмя нулями \(\pm(2 - \sqrt{3})\), \(\pm(2 + \sqrt{3})\), точками локального максимума \((\pm 2;\ 3)\) и точкой локального максимума \((0;\ 1)\) между двумя внутренними нулями; при \(|x| > 2 + \sqrt{3}\) ветви неограниченно возрастают.

Число корней уравнения равно числу общих точек этой линии и прямой \(y = a\):
если \(a < 0\), то корней нет;
если \(a = 0\), то общие точки — четыре нуля, то есть 4 корня;
если \(0 < a < 1\), то прямая пересекает каждую из восьми дуг по разу — 8 корней;
если \(a = 1\), то прямая проходит через точку \((0;\ 1)\) и пересекает шесть дуг — 7 корней;
если \(1 < a < 3\), то прямая уже не пересекает среднюю дугу — 6 корней;
если \(a = 3\), то прямая проходит через две точки локального максимума \((\pm 2;\ 3)\) и пересекает две внешние ветви — 4 корня;
если \(a > 3\), то прямая пересекает только внешние ветви — 2 корня.

график