Страница 59 номер 6.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. §6. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Страница 59. Номер 6.11

Задание / условие:

Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра \(a\): 1) \(||x| - 1| = a\); 2) \(|(|x| - 1)^2 - 1| = a\); 3) \(|\sqrt{x} - 2| = a\)?

Решение:

1) \(f(x) = \bigl||x| - 1\bigr|\): \[y = x - 1 \ \rightarrow \ y = |x| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl||x| - 1\bigr|.\]

У ломаной \(y = |x| - 1\) вершина \((0;\ -1)\) и нули \(x = -1\), \(x = 1\); часть ниже оси абсцисс отражают вверх — получается ломаная с теми же нулями и точкой локального максимума \((0;\ 1)\), при \(|x| > 1\) ветви неограниченно возрастают.

Число корней — число общих точек ломаной и прямой \(y = a\):
\(a < 0\) — прямая ниже ломаной, корней нет;
\(a = 0\) — нули ломаной, 2 корня;
\(0 < a < 1\) — все четыре звена, 4 корня;
\(a = 1\) — точка локального максимума \((0;\ 1)\) и внешние ветви, 3 корня;
\(a > 1\) — только внешние ветви, 2 корня.

2) \(f(x) = \bigl|(|x| - 1)^2 - 1\bigr|\): \[y = (x - 1)^2 - 1 \ \rightarrow \ y = (|x| - 1)^2 - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl|(|x| - 1)^2 - 1\bigr|.\]

У параболы \(y = (x - 1)^2 - 1\) вершина \((1;\ -1)\) и нули 0 и 2; график функции \(y = (|x| - 1)^2 - 1\) чётный, с нулями \(x = 0\), \(x = -2\), \(x = 2\) и точками минимума \((-1;\ -1)\), \((1;\ -1)\). После отражения вверх частей ниже оси абсцисс — линия с нулями \(x = -2\), \(x = 0\), \(x = 2\), точками локального максимума \((-1;\ 1)\), \((1;\ 1)\) и изломом в точке \((0;\ 0)\); при \(|x| > 2\) ветви неограниченно возрастают.

Число корней — число общих точек с прямой \(y = a\):
\(a < 0\) — корней нет;
\(a = 0\) — три нуля, 3 корня;
\(0 < a < 1\) — каждая из шести дуг по разу, 6 корней;
\(a = 1\) — две точки локального максимума и две внешние ветви, 4 корня;
\(a > 1\) — только внешние ветви, 2 корня.

3) \(f(x) = |\sqrt{x} - 2|\): \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x} - 2 \ \rightarrow \ y = |\sqrt{x} - 2|.\]

Область определения — \(x \geqslant 0\). График функции \(y = \sqrt{x} - 2\) идёт из точки \((0;\ -2)\) и пересекает ось абсцисс в точке \((4;\ 0)\); часть при \(0 \leqslant x < 4\) отражают вверх — линия идёт из точки \((0;\ 2)\) вниз до точки \((4;\ 0)\), а затем неограниченно возрастает.

Число корней — число общих точек с прямой \(y = a\):
\(a < 0\) — корней нет;
\(a = 0\) — одна общая точка \((4;\ 0)\), 1 корень;
\(0 < a \leqslant 2\) — убывающая дуга и возрастающая ветвь, 2 корня (при \(a = 2\) общая точка с дугой — её левый конец \((0;\ 2)\));
\(a > 2\) — только возрастающая ветвь, 1 корень.

график

Ответ: 1) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a = 0\) или \(a > 1\), то 2 корня; если \(0 < a < 1\), то 4 корня; если \(a = 1\), то 3 корня; 2) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a = 0\), то 3 корня; если \(0 < a < 1\), то 6 корней; если \(a = 1\), то 4 корня; если \(a > 1\), то 2 корня; 3) если \(a < 0\), то корней нет; если \(a = 0\) или \(a > 2\), то 1 корень; если \(0 < a \leqslant 2\), то 2 корня.

Задание / условие:

Решение:

1) Построим график функции \(f(x) = \bigl||x| - 1\bigr|\) по схеме \[y = x - 1 \ \rightarrow \ y = |x| - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl||x| - 1\bigr|.\]

График функции \(y = |x| - 1\) — ломаная с вершиной \((0;\ -1)\) и нулями \(x = -1\), \(x = 1\). Её часть, лежащую ниже оси абсцисс, отражают вверх и получают ломаную с нулями \(x = -1\), \(x = 1\) и точкой локального максимума \((0;\ 1)\); при \(|x| > 1\) обе ветви неограниченно возрастают.

Графиком функции \(y = a\) является прямая, параллельная оси абсцисс, поэтому число корней уравнения равно числу общих точек этой прямой и построенной ломаной:
если \(a < 0\), то прямая проходит ниже ломаной — корней нет;
если \(a = 0\), то общие точки — нули ломаной, то есть 2 корня;
если \(0 < a < 1\), то прямая пересекает все четыре звена — 4 корня;
если \(a = 1\), то прямая проходит через точку локального максимума \((0;\ 1)\) и пересекает внешние ветви — 3 корня;
если \(a > 1\), то прямая пересекает только внешние ветви — 2 корня.

2) Построим график функции \(f(x) = \bigl|(|x| - 1)^2 - 1\bigr|\) по схеме \[y = (x - 1)^2 - 1 \ \rightarrow \ y = (|x| - 1)^2 - 1 \ \rightarrow \ y = \bigl|(|x| - 1)^2 - 1\bigr|.\]

Парабола \(y = (x - 1)^2 - 1\) имеет вершину \((1;\ -1)\) и нули 0 и 2. У функции \(y = (|x| - 1)^2 - 1\) график чётный: он имеет нули \(x = 0\), \(x = -2\), \(x = 2\) и точки минимума \((-1;\ -1)\), \((1;\ -1)\). После отражения вверх частей, лежащих ниже оси абсцисс, получаем линию с нулями \(x = -2\), \(x = 0\), \(x = 2\), точками локального максимума \((-1;\ 1)\), \((1;\ 1)\) и изломом в точке \((0;\ 0)\); при \(|x| > 2\) ветви неограниченно возрастают.

Число корней уравнения равно числу общих точек этой линии и прямой \(y = a\):
если \(a < 0\), то корней нет;
если \(a = 0\), то общие точки — три нуля, то есть 3 корня;
если \(0 < a < 1\), то прямая пересекает каждую из шести дуг по разу — 6 корней;
если \(a = 1\), то прямая проходит через две точки локального максимума и пересекает две внешние ветви — 4 корня;
если \(a > 1\), то прямая пересекает только внешние ветви — 2 корня.

3) Построим график функции \(f(x) = |\sqrt{x} - 2|\) по схеме \[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{x} - 2 \ \rightarrow \ y = |\sqrt{x} - 2|.\]

Область определения — \(x \geqslant 0\). График функции \(y = \sqrt{x} - 2\) начинается в точке \((0;\ -2)\) и пересекает ось абсцисс в точке \((4;\ 0)\); часть при \(0 \leqslant x < 4\) отражают вверх. Полученная линия идёт из точки \((0;\ 2)\) вниз до точки \((4;\ 0)\), а затем неограниченно возрастает.

Число корней уравнения равно числу общих точек этой линии и прямой \(y = a\):
если \(a < 0\), то корней нет;
если \(a = 0\), то общая точка одна — \((4;\ 0)\), то есть 1 корень;
если \(0 < a \leqslant 2\), то прямая пересекает и убывающую дугу, и возрастающую ветвь — 2 корня (при \(a = 2\) общая точка с убывающей дугой — её левый конец \((0;\ 2)\));
если \(a > 2\), то прямая пересекает только возрастающую ветвь — 1 корень.

график