Вопросы после параграфа §6 на странице 58, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
1. Как можно построить график функции \(y = f(kx)\), используя график функции \(y = f(x)\), если \(k > 0\); \(k < 0\)? 2. Как можно построить график функции \(y = f(|x|)\), используя график функции \(y = f(x)\)? 3. Как можно построить график функции \(y = |f(x)|\), используя график функции \(y = f(x)\)?
Ординату каждой точки сохраняют, а абсциссу делят на \(k\): если точка \((x_0;\ y_0)\) принадлежит графику функции \(y = f(x)\), то точка \(\left(\frac{x_0}{k};\ y_0\right)\) принадлежит графику функции \(y = f(kx)\).
При \(k > 1\) это сжатие в \(k\) раз к оси ординат, при \(0 < k < 1\) — растяжение в \(\frac{1}{k}\) раз от оси ординат: график функции \(y = \sqrt{2x}\) получают сжатием графика функции \(y = \sqrt{x}\) в 2 раза, а график функции \(y = \sqrt{\frac{x}{2}}\) — растяжением в 2 раза.
При \(k < 0\) абсцисса ещё и меняет знак, поэтому строят в два шага: симметрия относительно оси ординат, затем сжатие в \(|k|\) раз (при \(|k| > 1\)) или растяжение в \(\frac{1}{|k|}\) раз (при \(|k| < 1\)). Для функции \(y = \sqrt{-3x}\):
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-3x}.\]
Ответ: каждую точку \((x_0;\ y_0)\) графика функции \(y = f(x)\) заменяют точкой \(\left(\frac{x_0}{k};\ y_0\right)\); при \(k > 1\) это сжатие в \(k\) раз к оси ординат, при \(0 < k < 1\) — растяжение в \(\frac{1}{k}\) раз от оси ординат, а при \(k < 0\) то же преобразование выполняют после симметрии относительно оси ординат.
\[y = f(|x|) = \begin{cases} f(x), \text{ если } x \geqslant 0, \\ f(-x), \text{ если } x < 0. \end{cases}\]
Часть графика функции \(y = f(x)\) с неотрицательными абсциссами оставляют, часть с отрицательными отбрасывают и заменяют фигурой, симметричной оставленной части относительно оси ординат; функция \(y = f(|x|)\) чётная, ось ординат — ось симметрии её графика.
Например, у графика функции \(y = (|x| - 2)^2\) правая ветвь с вершиной \((2;\ 0)\) — от графика функции \(y = (x - 2)^2\), её отражение даёт часть с вершиной \((-2;\ 0)\), в точке \((0;\ 4)\) — излом.
Ответ: часть графика функции \(y = f(x)\) с неотрицательными абсциссами оставляют без изменений, часть с отрицательными абсциссами отбрасывают и заменяют фигурой, симметричной оставленной части относительно оси ординат.
\[y = |f(x)| = \begin{cases} f(x), \text{ если } f(x) \geqslant 0, \\ -f(x), \text{ если } f(x) < 0. \end{cases}\]
Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = -f(x)\) симметричны относительно оси абсцисс, поэтому часть графика функции \(y = f(x)\), лежащую не ниже оси абсцисс, оставляют, а лежащую ниже — отражают вверх.
Например, у функции \(y = |(x - 1)^2 - 2|\) дуга с вершиной \((1;\ -2)\) отражается вверх и даёт дугу с вершиной \((1;\ 2)\); изломы — в нулях \(x = 1 - \sqrt{2}\) и \(x = 1 + \sqrt{2}\).
Ответ: часть графика функции \(y = f(x)\), лежащую не ниже оси абсцисс, оставляют без изменений, а часть, лежащую ниже оси абсцисс, отражают вверх симметрично относительно оси абсцисс.
1. Как можно построить график функции \(y = f(kx)\), используя график функции \(y = f(x)\), если \(k > 0\); \(k < 0\)? 2. Как можно построить график функции \(y = f(|x|)\), используя график функции \(y = f(x)\)? 3. Как можно построить график функции \(y = |f(x)|\), используя график функции \(y = f(x)\)?
Пусть \(k > 0\). Если точка \((x_0;\ y_0)\) принадлежит графику функции \(y = f(x)\), то точка \(\left(\frac{x_0}{k};\ y_0\right)\) принадлежит графику функции \(y = f(kx)\): при \(x = \frac{x_0}{k}\) имеем \(f(kx) = f\left(k \cdot \frac{x_0}{k}\right) = f(x_0) = y_0\). Верно и обратное: каждой точке \((x_1;\ y_1)\) графика функции \(y = f(kx)\) отвечает точка \((kx_1;\ y_1)\) графика функции \(y = f(x)\).
Поэтому график функции \(y = f(kx)\) получают так: каждую точку графика функции \(y = f(x)\) заменяют точкой с той же ординатой и абсциссой, делённой на \(k\). При \(k > 1\) такое преобразование называют сжатием в \(k\) раз к оси ординат, при \(0 < k < 1\) — растяжением в \(\frac{1}{k}\) раз от оси ординат. Например, график функции \(y = \sqrt{2x}\) получают сжатием графика функции \(y = \sqrt{x}\) в 2 раза к оси ординат, а график функции \(y = \sqrt{\frac{x}{2}}\) — растяжением того же графика в 2 раза от оси ординат.
При \(k < 0\) правило остаётся тем же: абсциссу каждой точки делят на \(k\), отчего она ещё и меняет знак. Строить удобно в два шага: сначала отобразить график функции \(y = f(x)\) симметрично относительно оси ординат и получить график функции \(y = f(-x)\), а потом сжать его в \(|k|\) раз к оси ординат (если \(|k| > 1\)) или растянуть в \(\frac{1}{|k|}\) раз от оси ординат (если \(|k| < 1\)). Например, для функции \(y = \sqrt{-3x}\) схема такая:
\[y = \sqrt{x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-x} \ \rightarrow \ y = \sqrt{-3x}.\]
Ответ: каждую точку \((x_0;\ y_0)\) графика функции \(y = f(x)\) заменяют точкой \(\left(\frac{x_0}{k};\ y_0\right)\); при \(k > 1\) это сжатие в \(k\) раз к оси ординат, при \(0 < k < 1\) — растяжение в \(\frac{1}{k}\) раз от оси ординат, а при \(k < 0\) то же преобразование выполняют после симметрии относительно оси ординат.
По определению модуля
\[y = f(|x|) = \begin{cases} f(x), \text{ если } x \geqslant 0, \\ f(-x), \text{ если } x < 0. \end{cases}\]
Значит, при \(x \geqslant 0\) график функции \(y = f(|x|)\) совпадает с графиком функции \(y = f(x)\), а при \(x < 0\) — с графиком функции \(y = f(-x)\), то есть с фигурой, симметричной графику функции \(y = f(x)\) относительно оси ординат.
Отсюда схема построения: оставить ту часть графика функции \(y = f(x)\), все точки которой имеют неотрицательные абсциссы, отбросить часть с отрицательными абсциссами и построить фигуру, симметричную оставленной части относительно оси ординат. Объединение двух построенных фигур и есть график функции \(y = f(|x|)\). Функция \(y = f(|x|)\) чётная, поэтому ось ординат — ось симметрии её графика.
Например, так из графика функции \(y = (x - 2)^2\) получают график функции \(y = (|x| - 2)^2\): правая ветвь с вершиной \((2;\ 0)\) остаётся, а её отражение даёт часть с вершиной \((-2;\ 0)\); в точке \((0;\ 4)\) график имеет излом.
Ответ: часть графика функции \(y = f(x)\) с неотрицательными абсциссами оставляют без изменений, часть с отрицательными абсциссами отбрасывают и заменяют фигурой, симметричной оставленной части относительно оси ординат.
По определению модуля
\[y = |f(x)| = \begin{cases} f(x), \text{ если } f(x) \geqslant 0, \\ -f(x), \text{ если } f(x) < 0. \end{cases}\]
Значит, при всех \(x\), для которых \(f(x) \geqslant 0\), график функции \(y = |f(x)|\) совпадает с графиком функции \(y = f(x)\), а при всех \(x\), для которых \(f(x) < 0\), — с графиком функции \(y = -f(x)\). Графики функций \(y = f(x)\) и \(y = -f(x)\) симметричны относительно оси абсцисс.
Отсюда схема построения: ту часть графика функции \(y = f(x)\), точки которой имеют неотрицательные ординаты, оставить без изменений, а часть, лежащую ниже оси абсцисс, отобразить симметрично относительно оси абсцисс, то есть отразить вверх.
Например, у функции \(y = |(x - 1)^2 - 2|\) ветви параболы \(y = (x - 1)^2 - 2\) выше оси абсцисс остаются на месте, а дуга с вершиной \((1;\ -2)\) отражается вверх и даёт дугу с вершиной \((1;\ 2)\); изломы получаются в нулях \(x = 1 - \sqrt{2}\) и \(x = 1 + \sqrt{2}\).
Ответ: часть графика функции \(y = f(x)\), лежащую не ниже оси абсцисс, оставляют без изменений, а часть, лежащую ниже оси абсцисс, отражают вверх симметрично относительно оси абсцисс.
