Страница 49 номер 5.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите промежутки знакопостоянства функции: 1) \(y = \sqrt{x} + 2\); 2) \(y = |x^2 - 4|\); 3) \(y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}\); 4) \(y = [x]\).
1) \(y = \sqrt{x} + 2\).
\(x \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [0;\ +\infty)\); так как \(\sqrt{x} \geqslant 0\), то \(y \geqslant 2\).
\(y > 0\) на промежутке \([0;\ +\infty)\); отрицательных значений и нулей у функции нет.
2) \(y = |x^2 - 4|\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
Модуль равен нулю только при \(x^2 - 4 = 0\), то есть при \(x = -2\) и при \(x = 2\); при остальных значениях аргумента \(y > 0\).
\(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\) и \((2;\ +\infty)\); отрицательных значений функция не принимает.
3) \(y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}\).
\((x - 1)(x - 3)^2 \geqslant 0\): при \(x = 3\) произведение равно нулю, а при \(x \ne 3\) множитель \((x - 3)^2\) положителен и знак произведения совпадает со знаком множителя \(x - 1\); значит, \(D(y) = [1;\ +\infty)\).
Корень равен нулю при \(x = 1\) и при \(x = 3\), при остальных значениях из области определения он положителен.
\(y > 0\) на каждом из промежутков \((1;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\); отрицательных значений функция не принимает.
4) \(y = [x]\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
\([x] \leqslant -1\) при \(x < 0\), \([x] = 0\) при \(0 \leqslant x < 1\) и \([x] \geqslant 1\) при \(x \geqslant 1\).
\(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \([1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(y > 0\) на промежутке \([0;\ +\infty)\); 2) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\) и \((2;\ +\infty)\); 3) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((1;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\); 4) \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \([1;\ +\infty)\).
Найдите промежутки знакопостоянства функции: 1) \(y = \sqrt{x} + 2\); 2) \(y = |x^2 - 4|\); 3) \(y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}\); 4) \(y = [x]\).
Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на каждом из которых функция принимает значения одного знака.
1) \(y = \sqrt{x} + 2\).
Область определения: \(x \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [0;\ +\infty)\). Так как \(\sqrt{x} \geqslant 0\), то \(y \geqslant 2\), то есть функция положительна во всей области определения.
Функция принимает положительные значения на промежутке \([0;\ +\infty)\); отрицательных значений и нулей у неё нет.
2) \(y = |x^2 - 4|\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Модуль неотрицателен и равен нулю только при \(x^2 - 4 = 0\), то есть при \(x = -2\) и при \(x = 2\). При всех остальных значениях аргумента \(y > 0\).
Функция принимает положительные значения на каждом из промежутков \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\) и \((2;\ +\infty)\); отрицательных значений она не принимает.
3) \(y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}\).
Область определения: \((x - 1)(x - 3)^2 \geqslant 0\). При \(x = 3\) произведение равно нулю, а при \(x \ne 3\) множитель \((x - 3)^2\) положителен, и знак произведения совпадает со знаком множителя \(x - 1\). Значит, неравенство выполняется при \(x \geqslant 1\), и \(D(y) = [1;\ +\infty)\).
Значение корня равно нулю, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при \(x = 1\) и при \(x = 3\); при остальных значениях аргумента из области определения оно положительно.
Функция принимает положительные значения на каждом из промежутков \((1;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\); отрицательных значений она не принимает.
4) \(y = [x]\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
По определению целой части числа \([x] \leqslant -1\) при \(x < 0\), \([x] = 0\) при \(0 \leqslant x < 1\) и \([x] \geqslant 1\) при \(x \geqslant 1\).
Функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и положительные значения на промежутке \([1;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(y > 0\) на промежутке \([0;\ +\infty)\); 2) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ -2)\), \((-2;\ 2)\) и \((2;\ +\infty)\); 3) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((1;\ 3)\) и \((3;\ +\infty)\); 4) \(y < 0\) на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и \(y > 0\) на промежутке \([1;\ +\infty)\).
