Страница 48 номер 5.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите промежутки знакопостоянства функции: 1) \(y = \sqrt{x - 1}\); 2) \(y = |x + 1|\); 3) \(y = \sqrt{x(x - 1)^2}\); 4) \(y = \{x\}\).
1) \(y = \sqrt{x - 1}\).
\(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [1;\ +\infty)\); \(\sqrt{x - 1} = 0\) только при \(x = 1\), а при \(x > 1\) значение положительно.
\(y > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); отрицательных значений функция не принимает.
2) \(y = |x + 1|\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
Модуль равен нулю только при \(x = -1\), при остальных значениях аргумента \(|x + 1| > 0\).
\(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1)\) и \((-1;\ +\infty)\); отрицательных значений функция не принимает.
3) \(y = \sqrt{x\,(x - 1)^2}\).
\(x\,(x - 1)^2 \geqslant 0\): при \(x = 1\) произведение равно нулю, а при \(x \ne 1\) множитель \((x - 1)^2\) положителен и знак произведения совпадает со знаком множителя \(x\); значит, \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
Корень равен нулю при \(x = 0\) и при \(x = 1\), при остальных значениях из области определения он положителен.
\(y > 0\) на каждом из промежутков \((0;\ 1)\) и \((1;\ +\infty)\); отрицательных значений функция не принимает.
4) \(y = \{x\}\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
Дробная часть равна нулю в точности для целых чисел, а при \(k \in \mathbf{Z}\) и \(k < x < k + 1\) имеем \([x] = k\) и \(\{x\} = x - k > 0\).
\(y > 0\) на каждом из промежутков \((k;\ k + 1)\), где \(k \in \mathbf{Z}\); отрицательных значений функция не принимает.
Ответ: 1) \(y > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); 2) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1)\) и \((-1;\ +\infty)\); 3) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((0;\ 1)\) и \((1;\ +\infty)\); 4) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((k;\ k + 1)\), где \(k \in \mathbf{Z}\); отрицательных значений ни одна из этих функций не принимает.
Найдите промежутки знакопостоянства функции: 1) \(y = \sqrt{x - 1}\); 2) \(y = |x + 1|\); 3) \(y = \sqrt{x(x - 1)^2}\); 4) \(y = \{x\}\).
Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на каждом из которых функция принимает значения одного знака.
1) \(y = \sqrt{x - 1}\).
Область определения: \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [1;\ +\infty)\). Значение \(\sqrt{x - 1}\) неотрицательно и равно нулю только при \(x = 1\), а при \(x > 1\) оно положительно.
Функция принимает положительные значения на промежутке \((1;\ +\infty)\); отрицательных значений она не принимает.
2) \(y = |x + 1|\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Модуль неотрицателен и равен нулю только при \(x + 1 = 0\), то есть при \(x = -1\). При всех остальных значениях аргумента \(|x + 1| > 0\).
Функция принимает положительные значения на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1)\) и \((-1;\ +\infty)\); отрицательных значений она не принимает.
3) \(y = \sqrt{x\,(x - 1)^2}\).
Область определения: \(x\,(x - 1)^2 \geqslant 0\). При \(x = 1\) произведение равно нулю, а при \(x \ne 1\) множитель \((x - 1)^2\) положителен, и знак произведения совпадает со знаком множителя \(x\). Значит, неравенство выполняется при \(x \geqslant 0\), и \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
Значение корня равно нулю, когда подкоренное выражение равно нулю, то есть при \(x = 0\) и при \(x = 1\); при остальных значениях аргумента из области определения оно положительно.
Функция принимает положительные значения на каждом из промежутков \((0;\ 1)\) и \((1;\ +\infty)\); отрицательных значений она не принимает.
4) \(y = \{x\}\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Дробная часть числа неотрицательна и равна нулю в точности для целых чисел. Если \(k \in \mathbf{Z}\) и \(k < x < k + 1\), то \([x] = k\) и \(\{x\} = x - k > 0\).
Функция принимает положительные значения на каждом из промежутков \((k;\ k + 1)\), где \(k \in \mathbf{Z}\); отрицательных значений она не принимает.
Ответ: 1) \(y > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\); 2) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((-\infty;\ -1)\) и \((-1;\ +\infty)\); 3) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((0;\ 1)\) и \((1;\ +\infty)\); 4) \(y > 0\) на каждом из промежутков \((k;\ k + 1)\), где \(k \in \mathbf{Z}\); отрицательных значений ни одна из этих функций не принимает.
