Страница 49 номер 5.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) чётная. Может ли выполняться равенство: 1) \(f(2) - f(-2) = 1\); 2) \(f(5)\,f(-5) = -2\); 3) \(\frac{f(1)}{f(-1)} = 0\)?
Функция \(f\) чётная, поэтому \(f(-x) = f(x)\).
1) \(f(2) - f(-2) = f(2) - f(2) = 0\), а \(0 \ne 1\): равенство невозможно.
2) \(f(5)\,f(-5) = f(5) \cdot f(5) = \bigl(f(5)\bigr)^2\), квадрат числа неотрицателен, а \(-2 < 0\): равенство невозможно.
3) Дробь \(\frac{f(1)}{f(-1)}\) имеет смысл только при \(f(-1) \ne 0\); тогда \(f(1) = f(-1) \ne 0\) и \(\frac{f(1)}{f(-1)} = 1\), а \(1 \ne 0\): равенство невозможно.
Ответ: ни одно из трёх равенств для чётной функции выполняться не может: 1) разность \(f(2) - f(-2)\) равна 0; 2) произведение \(f(5)\,f(-5)\) неотрицательно; 3) частное \(\frac{f(1)}{f(-1)}\) равно 1.
Функция \(f\) чётная. Может ли выполняться равенство: 1) \(f(2) - f(-2) = 1\); 2) \(f(5)\,f(-5) = -2\); 3) \(\frac{f(1)}{f(-1)} = 0\)?
Так как функция \(f\) чётная, то для любого \(x\) из её области определения выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\).
1) \(f(2) - f(-2) = 1\).
Имеем \(f(-2) = f(2)\), поэтому \(f(2) - f(-2) = f(2) - f(2) = 0\), а \(0 \ne 1\). Значит, такое равенство выполняться не может.
2) \(f(5)\,f(-5) = -2\).
Имеем \(f(-5) = f(5)\), поэтому \(f(5)\,f(-5) = f(5) \cdot f(5) = \bigl(f(5)\bigr)^2\). Квадрат числа неотрицателен, а \(-2 < 0\). Значит, такое равенство выполняться не может.
3) \(\frac{f(1)}{f(-1)} = 0\).
Дробь \(\frac{f(1)}{f(-1)}\) имеет смысл только при \(f(-1) \ne 0\). Тогда \(f(1) = f(-1) \ne 0\) и \(\frac{f(1)}{f(-1)} = 1\), а \(1 \ne 0\). Значит, такое равенство выполняться не может.
Ответ: ни одно из трёх равенств для чётной функции выполняться не может: 1) разность \(f(2) - f(-2)\) равна 0; 2) произведение \(f(5)\,f(-5)\) неотрицательно; 3) частное \(\frac{f(1)}{f(-1)}\) равно 1.
