Страница 48 номер 5.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите нули функции: 1) \(y = |x| + x\); 2) \(y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}}\); 3) \(y = [x]\); 4) \(y = x\mathcal{D}(x)\).
Нули ищем только среди чисел области определения.
1) \(y = |x| + x\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
\(|x| + x = 0\) означает \(|x| = -x\), а это выполняется только при \(x \leqslant 0\).
Нули функции — все числа промежутка \((-\infty;\ 0]\).
2) \(y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}}\).
Корень стоит в знаменателе, поэтому \(x - 2 > 0\), то есть \(D(y) = (2;\ +\infty)\).
Дробь равна нулю при \(x^2 - 9 = 0\), откуда \(x = -3 \notin D(y)\) или \(x = 3 \in D(y)\).
Нуль функции — число 3.
3) \(y = [x]\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
\([x] = 0\) означает \(0 \leqslant x < 1\).
Нули функции — все числа промежутка \([0;\ 1)\).
4) \(y = x\mathcal{D}(x)\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
Произведение равно нулю при \(x = 0\) или при \(\mathcal{D}(x) = 0\), а второе выполняется в точности для иррациональных чисел.
Нули функции — число 0 и все иррациональные числа.
Ответ: 1) все числа промежутка \((-\infty;\ 0]\); 2) 3; 3) все числа промежутка \([0;\ 1)\); 4) число 0 и все иррациональные числа, то есть все \(x \in \{0\} \cup (\mathbf{R} \setminus \mathbf{Q})\).
Найдите нули функции: 1) \(y = |x| + x\); 2) \(y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}}\); 3) \(y = [x]\); 4) \(y = x\mathcal{D}(x)\).
Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Искать нули можно только среди чисел области определения.
1) \(y = |x| + x\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Равенство \(|x| + x = 0\) означает, что \(|x| = -x\), а это выполняется тогда и только тогда, когда \(x \leqslant 0\).
Нули функции — все числа промежутка \((-\infty;\ 0]\).
2) \(y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}}\).
Корень стоит в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть положительным: \(x - 2 > 0\), то есть \(D(y) = (2;\ +\infty)\).
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: \(x^2 - 9 = 0\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\). Число \(-3\) области определения не принадлежит, а число 3 принадлежит.
Нуль функции — число 3.
3) \(y = [x]\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
По определению целой части числа равенство \([x] = 0\) означает, что \(0 \leqslant x < 1\).
Нули функции — все числа промежутка \([0;\ 1)\).
4) \(y = x\mathcal{D}(x)\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть когда \(x = 0\) или \(\mathcal{D}(x) = 0\). Второе равенство выполняется в точности для иррациональных чисел.
Нули функции — число 0 и все иррациональные числа.
Ответ: 1) все числа промежутка \((-\infty;\ 0]\); 2) 3; 3) все числа промежутка \([0;\ 1)\); 4) число 0 и все иррациональные числа, то есть все \(x \in \{0\} \cup (\mathbf{R} \setminus \mathbf{Q})\).
