Страница 48 номер 5.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите нули функции: 1) \(y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\); 2) \(y = x\sqrt{x - 1}\); 3) \(y = |x| - x\); 4) \(y = \{x\}\); 5) \(y = \mathcal{D}(x)\).
Нули ищем только среди чисел области определения.
1) \(y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} x - 1 \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 1, \\ x \geqslant -1. \end{cases} \end{gathered}\]
\(D(y) = [1;\ +\infty)\).
Из \(\sqrt{x - 1} = 0\) получаем \(x = 1 \in D(y)\); из \(\sqrt{x + 1} = 0\) получаем \(x = -1 \notin D(y)\).
Нуль функции — число 1.
2) \(y = x\sqrt{x - 1}\).
\(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [1;\ +\infty)\).
Произведение равно нулю при \(x = 0\) или при \(x = 1\); число 0 области определения не принадлежит, число 1 принадлежит.
Нуль функции — число 1.
3) \(y = |x| - x\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
\(|x| - x = 0\) означает \(|x| = x\), а это выполняется только при \(x \geqslant 0\).
Нули функции — все числа промежутка \([0;\ +\infty)\).
4) \(y = \{x\}\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
\(\{x\} = x - [x]\), поэтому \(\{x\} = 0\) означает \(x = [x]\), а целая часть совпадает с самим числом только у целых чисел.
Нули функции — все целые числа.
5) \(y = \mathcal{D}(x)\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
Функция Дирихле равна 0 в точности для иррациональных чисел.
Нули функции — все иррациональные числа.
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) все числа промежутка \([0;\ +\infty)\); 4) все целые числа, то есть все \(x \in \mathbf{Z}\); 5) все иррациональные числа, то есть все \(x \in \mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}\).
Найдите нули функции: 1) \(y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\); 2) \(y = x\sqrt{x - 1}\); 3) \(y = |x| - x\); 4) \(y = \{x\}\); 5) \(y = \mathcal{D}(x)\).
Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Искать нули можно только среди чисел области определения.
1) \(y = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}\).
Область определения задаётся системой:
\[\begin{gathered} \begin{cases} x - 1 \geqslant 0, \\ x + 1 \geqslant 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant 1, \\ x \geqslant -1. \end{cases} \end{gathered}\]
Значит, \(D(y) = [1;\ +\infty)\).
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Из \(\sqrt{x - 1} = 0\) получаем \(x = 1\), и это число принадлежит области определения. Из \(\sqrt{x + 1} = 0\) получаем \(x = -1\), но \(-1 \notin D(y)\), поэтому нулём функции это число не является.
Нуль функции — число 1.
2) \(y = x\sqrt{x - 1}\).
Область определения: \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(D(y) = [1;\ +\infty)\).
Произведение равно нулю при \(x = 0\) или при \(\sqrt{x - 1} = 0\), то есть при \(x = 1\). Число 0 области определения не принадлежит, а число 1 принадлежит.
Нуль функции — число 1.
3) \(y = |x| - x\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Равенство \(|x| - x = 0\) означает, что \(|x| = x\), а это выполняется тогда и только тогда, когда \(x \geqslant 0\).
Нули функции — все числа промежутка \([0;\ +\infty)\).
4) \(y = \{x\}\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
По определению дробной части числа \(\{x\} = x - [x]\), поэтому равенство \(\{x\} = 0\) означает, что \(x = [x]\). Целая часть числа совпадает с самим числом тогда и только тогда, когда число целое.
Нули функции — все целые числа.
5) \(y = \mathcal{D}(x)\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Функция Дирихле принимает значение 0 в точности для иррациональных чисел, а для рациональных она равна 1.
Нули функции — все иррациональные числа.
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) все числа промежутка \([0;\ +\infty)\); 4) все целые числа, то есть все \(x \in \mathbf{Z}\); 5) все иррациональные числа, то есть все \(x \in \mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}\).
