Страница 48 номер 5.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества \(D(y)\) на множество \(E(y)\): 1) \(y = 2x + 1\); 2) \(y = |x|\); 3) \(y = \sqrt{x}\)?
Отображение взаимно однозначное тогда и только тогда, когда уравнение \(y(x) = a\) при каждом \(a \in E(y)\) имеет единственный корень.
1) \(y = 2x + 1\), \(D(y) = \mathbf{R}\).
Уравнение \(2x + 1 = a\) при любом \(a\) имеет единственный корень \(x = \frac{a - 1}{2}\), значит, \(E(y) = \mathbf{R}\): это взаимно однозначное отображение множества \(\mathbf{R}\) на множество \(\mathbf{R}\).
2) \(y = |x|\), \(D(y) = \mathbf{R}\), \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Элемент 2 множества \(E(y)\) является соответствующим двум элементам множества \(D(y)\) — числам \(-2\) и 2, так как \(|-2| = |2| = 2\): взаимно однозначного отображения нет.
3) \(y = \sqrt{x}\), \(D(y) = [0;\ +\infty)\).
Уравнение \(\sqrt{x} = a\) при \(a \geqslant 0\) имеет единственный корень \(x = a^2\), а при \(a < 0\) корней не имеет, значит, \(E(y) = [0;\ +\infty)\): это взаимно однозначное отображение множества \([0;\ +\infty)\) на множество \([0;\ +\infty)\).
Ответ: взаимно однозначными отображениями множества \(D(y)\) на множество \(E(y)\) являются функции \(y = 2x + 1\) и \(y = \sqrt{x}\) (пункты 1) и 3)); функция \(y = |x|\) таким отображением не является.
Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества \(D(y)\) на множество \(E(y)\): 1) \(y = 2x + 1\); 2) \(y = |x|\); 3) \(y = \sqrt{x}\)?
Функция является взаимно однозначным отображением множества \(D(y)\) на множество \(E(y)\) тогда и только тогда, когда каждому числу \(a \in E(y)\) отвечает ровно одно число \(x \in D(y)\), то есть когда уравнение \(y(x) = a\) при каждом \(a \in E(y)\) имеет единственный корень.
1) \(y = 2x + 1\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\).
Уравнение \(2x + 1 = a\) при любом значении \(a\) имеет единственный корень \(x = \frac{a - 1}{2}\). Значит, \(E(y) = \mathbf{R}\) и каждому элементу множества \(E(y)\) отвечает один и только один элемент множества \(D(y)\). Эта функция — взаимно однозначное отображение множества \(\mathbf{R}\) на множество \(\mathbf{R}\).
2) \(y = |x|\). Область определения — множество \(\mathbf{R}\), область значений — промежуток \([0;\ +\infty)\).
Элемент 2 множества \(E(y)\) является соответствующим двум элементам множества \(D(y)\) — числам \(-2\) и 2, так как \(|-2| = |2| = 2\). Значит, эта функция не является взаимно однозначным отображением множества \(D(y)\) на множество \(E(y)\).
3) \(y = \sqrt{x}\). Область определения — промежуток \([0;\ +\infty)\).
Уравнение \(\sqrt{x} = a\) при \(a \geqslant 0\) имеет единственный корень \(x = a^2\), а при \(a < 0\) корней не имеет. Значит, \(E(y) = [0;\ +\infty)\) и каждому элементу множества \(E(y)\) отвечает один и только один элемент множества \(D(y)\). Эта функция — взаимно однозначное отображение множества \([0;\ +\infty)\) на множество \([0;\ +\infty)\).
Ответ: взаимно однозначными отображениями множества \(D(y)\) на множество \(E(y)\) являются функции \(y = 2x + 1\) и \(y = \sqrt{x}\) (пункты 1) и 3)); функция \(y = |x|\) таким отображением не является.
