Страница 48 номер 5.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(f(x) = x^2 + 3\); 2) \(f(x) = 6 - \sqrt{x}\); 3) \(f(x) = (\sqrt{x})^2\).
1) \(f(x) = x^2 + 3\), \(D(f) = \mathbf{R}\).
Уравнение \(x^2 + 3 = a\): \(x^2 = a - 3\), корни есть при \(a - 3 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 3\).
\[E(f) = [3;\ +\infty).\]
2) \(f(x) = 6 - \sqrt{x}\), \(D(f) = [0;\ +\infty)\).
Уравнение \(6 - \sqrt{x} = a\) равносильно уравнению \(\sqrt{x} = 6 - a\), корень есть при \(6 - a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 6\); этот корень \(x = (6 - a)^2\) принадлежит области определения.
\[E(f) = (-\infty;\ 6].\]
3) \(f(x) = (\sqrt{x})^2\).
\(D(f) = [0;\ +\infty)\), и при \(x \geqslant 0\) имеем \((\sqrt{x})^2 = x\): функция принимает те же значения, что и её аргумент.
\[E(f) = [0;\ +\infty).\]
Ответ: 1) \([3;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 6]\); 3) \([0;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции: 1) \(f(x) = x^2 + 3\); 2) \(f(x) = 6 - \sqrt{x}\); 3) \(f(x) = (\sqrt{x})^2\).
1) \(f(x) = x^2 + 3\). Область определения этой функции — множество \(\mathbf{R}\).
Пусть \(a\) — произвольный элемент области значений функции, то есть \(a \in E(f)\). Тогда надо найти все значения \(a\), при которых уравнение \(x^2 + 3 = a\) имеет решения.
Имеем: \(x^2 = a - 3\). Такое уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда \(a - 3 \geqslant 0\), то есть когда \(a \geqslant 3\).
\[E(f) = [3;\ +\infty).\]
2) \(f(x) = 6 - \sqrt{x}\). Область определения этой функции — промежуток \([0;\ +\infty)\).
Уравнение \(6 - \sqrt{x} = a\) равносильно уравнению \(\sqrt{x} = 6 - a\), которое имеет корень тогда и только тогда, когда \(6 - a \geqslant 0\), то есть когда \(a \leqslant 6\); этот корень \(x = (6 - a)^2\) принадлежит области определения.
\[E(f) = (-\infty;\ 6].\]
3) \(f(x) = (\sqrt{x})^2\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому \(D(f) = [0;\ +\infty)\). Для каждого \(x \geqslant 0\) выполняется равенство \((\sqrt{x})^2 = x\), значит, функция принимает те же значения, что и её аргумент, а он пробегает промежуток \([0;\ +\infty)\).
\[E(f) = [0;\ +\infty).\]
Ответ: 1) \([3;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 6]\); 3) \([0;\ +\infty)\).
