Страница 48 номер 5.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(f(x) = 5 - x^2\); 2) \(f(x) = |x + 2| + 2\); 3) \(f(x) = \sqrt{-x^2}\).
1) \(f(x) = 5 - x^2\), \(D(f) = \mathbf{R}\).
Уравнение \(5 - x^2 = a\): \(x^2 = 5 - a\), корни есть при \(5 - a \geqslant 0\), то есть при \(a \leqslant 5\).
\[E(f) = (-\infty;\ 5].\]
2) \(f(x) = |x + 2| + 2\), \(D(f) = \mathbf{R}\).
Уравнение \(|x + 2| + 2 = a\) равносильно уравнению \(|x + 2| = a - 2\), корни есть при \(a - 2 \geqslant 0\), то есть при \(a \geqslant 2\).
\[E(f) = [2;\ +\infty).\]
3) \(f(x) = \sqrt{-x^2}\).
\(-x^2 \geqslant 0\), то есть \(x^2 \leqslant 0\); так как \(x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), то \(D(f) = \{0\}\) и \(f(0) = \sqrt{0} = 0\).
\[E(f) = \{0\}.\]
Ответ: 1) \((-\infty;\ 5]\); 2) \([2;\ +\infty)\); 3) \(\{0\}\).
Найдите область значений функции: 1) \(f(x) = 5 - x^2\); 2) \(f(x) = |x + 2| + 2\); 3) \(f(x) = \sqrt{-x^2}\).
1) \(f(x) = 5 - x^2\). Область определения этой функции — множество \(\mathbf{R}\).
Пусть \(a\) — произвольный элемент области значений функции, то есть \(a \in E(f)\). Тогда надо найти все значения \(a\), при которых уравнение \(5 - x^2 = a\) имеет решения.
Имеем: \(x^2 = 5 - a\). Такое уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда \(5 - a \geqslant 0\), то есть когда \(a \leqslant 5\).
\[E(f) = (-\infty;\ 5].\]
2) \(f(x) = |x + 2| + 2\). Область определения этой функции — множество \(\mathbf{R}\).
Уравнение \(|x + 2| + 2 = a\) равносильно уравнению \(|x + 2| = a - 2\), которое имеет корни тогда и только тогда, когда \(a - 2 \geqslant 0\), то есть когда \(a \geqslant 2\).
\[E(f) = [2;\ +\infty).\]
3) \(f(x) = \sqrt{-x^2}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(-x^2 \geqslant 0\), то есть \(x^2 \leqslant 0\). Так как \(x^2 \geqslant 0\) при любом \(x\), то это неравенство выполняется только при \(x = 0\). Значит, \(D(f) = \{0\}\).
Единственное значение функции — это \(f(0) = \sqrt{0} = 0\).
\[E(f) = \{0\}.\]
Ответ: 1) \((-\infty;\ 5]\); 2) \([2;\ +\infty)\); 3) \(\{0\}\).
