Страница 48 номер 5.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{2}{x + 1}\); 2) \(f(x) = \sqrt{8 - x} + \frac{4}{x^2 - 8x}\).
1) \(f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{2}{x + 1}\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} x + 4 \geqslant 0, \\ x + 1 \ne 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -4, \\ x \ne -1. \end{cases} \end{gathered}\] \[D(f) = [-4;\ -1) \cup (-1;\ +\infty).\]
2) \(f(x) = \sqrt{8 - x} + \frac{4}{x^2 - 8x}\).
\[\begin{cases} 8 - x \geqslant 0, \\ x^2 - 8x \ne 0. \end{cases}\]
Так как \(x^2 - 8x = x\,(x - 8)\), то \(x \ne 0\) и \(x \ne 8\):
\[\begin{cases} x \leqslant 8, \\ x \ne 0, \\ x \ne 8. \end{cases}\]
Условия \(x \leqslant 8\) и \(x \ne 8\) дают промежуток \((-\infty;\ 8)\), из которого исключаем число 0.
\[D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ 8).\]
Ответ: 1) \([-4;\ -1) \cup (-1;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ 8)\).
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{2}{x + 1}\); 2) \(f(x) = \sqrt{8 - x} + \frac{4}{x^2 - 8x}\).
1) \(f(x) = \sqrt{x + 4} + \frac{2}{x + 1}\).
Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель дроби отличен от нуля:
\[\begin{gathered} \begin{cases} x + 4 \geqslant 0, \\ x + 1 \ne 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -4, \\ x \ne -1. \end{cases} \end{gathered}\] \[D(f) = [-4;\ -1) \cup (-1;\ +\infty).\]
2) \(f(x) = \sqrt{8 - x} + \frac{4}{x^2 - 8x}\).
Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель дроби отличен от нуля:
\[\begin{cases} 8 - x \geqslant 0, \\ x^2 - 8x \ne 0. \end{cases}\]
Так как \(x^2 - 8x = x\,(x - 8)\), то второе условие означает, что \(x \ne 0\) и \(x \ne 8\). Система принимает вид:
\[\begin{cases} x \leqslant 8, \\ x \ne 0, \\ x \ne 8. \end{cases}\]
Неравенству \(x \leqslant 8\) и условию \(x \ne 8\) вместе удовлетворяют числа промежутка \((-\infty;\ 8)\), из которого надо исключить число 0.
\[D(f) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ 8).\]
Ответ: 1) \([-4;\ -1) \cup (-1;\ +\infty)\); 2) \((-\infty;\ 0) \cup (0;\ 8)\).
