Страница 50 номер 5.29, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}\).
Область определения уравнения: \(9 - x^2 \geqslant 0\), откуда \(x^2 \leqslant 9\), то есть \(-3 \leqslant x \leqslant 3\).
Если \(-3 \leqslant x < -2\), то \(|x - 1| + |x + 2| = (1 - x) - (x + 2) = -2x - 1 > 3\).
Если \(-2 \leqslant x < 1\), то \(|x - 1| + |x + 2| = (1 - x) + (x + 2) = 3\).
Если \(1 \leqslant x \leqslant 3\), то \(|x - 1| + |x + 2| = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1 \geqslant 3\).
Для правой части \(9 - x^2 \leqslant 9\), поэтому \(\sqrt{9 - x^2} \leqslant 3\), причём равенство достигается только при \(x = 0\).
Значит, \(|x - 1| + |x + 2| \geqslant 3 \geqslant \sqrt{9 - x^2}\) на всей области определения, и части уравнения равны только тогда, когда каждая из них равна 3, а правая часть равна 3 лишь при \(x = 0\).
Проверка: при \(x = 0\) левая часть равна \(|0 - 1| + |0 + 2| = 1 + 2 = 3\), правая — \(\sqrt{9 - 0} = 3\). Значит, \(x = 0\) — корень уравнения, и других корней нет.
Ответ: 0.
Решите уравнение \(|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}\).
Область определения уравнения задаётся условием \(9 - x^2 \geqslant 0\), откуда \(x^2 \leqslant 9\), то есть \(-3 \leqslant x \leqslant 3\). Оценим каждую часть уравнения.
Раскроем модули в левой части на каждом из промежутков, на которые числа \(-2\) и 1 разбивают отрезок \([-3;\ 3]\).
Если \(-3 \leqslant x < -2\), то \(|x - 1| + |x + 2| = (1 - x) - (x + 2) = -2x - 1\), а из \(x < -2\) следует \(-2x - 1 > 3\).
Если \(-2 \leqslant x < 1\), то \(|x - 1| + |x + 2| = (1 - x) + (x + 2) = 3\).
Если \(1 \leqslant x \leqslant 3\), то \(|x - 1| + |x + 2| = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1\), а из \(x \geqslant 1\) следует \(2x + 1 \geqslant 3\).
Значит, на всей области определения выполняется неравенство \(|x - 1| + |x + 2| \geqslant 3\).
Для правой части имеем \(9 - x^2 \leqslant 9\), поэтому \(\sqrt{9 - x^2} \leqslant 3\), причём равенство \(\sqrt{9 - x^2} = 3\) выполняется только при \(x = 0\).
Таким образом, для любого \(x\) из области определения верно \(|x - 1| + |x + 2| \geqslant 3 \geqslant \sqrt{9 - x^2}\), поэтому части уравнения могут быть равны только тогда, когда каждая из них равна 3. Правая часть равна 3 лишь при \(x = 0\).
Проверка: при \(x = 0\) левая часть равна \(|0 - 1| + |0 + 2| = 1 + 2 = 3\), правая часть равна \(\sqrt{9 - 0} = 3\). Значит, \(x = 0\) — корень уравнения, и других корней нет.
Ответ: 0.
