Страница 50 номер 5.28, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(|x + 1| - |x| = \sqrt{x^4 + 1}\).
\(x^4 + 1 > 0\) при любом \(x\), поэтому область определения уравнения — множество \(\mathbf{R}\).
Если \(x < -1\), то \(|x + 1| - |x| = -(x + 1) + x = -1\).
Если \(-1 \leqslant x < 0\), то \(|x + 1| - |x| = (x + 1) + x = 2x + 1 < 1\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x + 1| - |x| = (x + 1) - x = 1\).
Для правой части \(x^4 \geqslant 0\), поэтому \(\sqrt{x^4 + 1} \geqslant 1\), причём равенство достигается только при \(x = 0\).
Значит, \(|x + 1| - |x| \leqslant 1 \leqslant \sqrt{x^4 + 1}\) при любом \(x\), и части уравнения равны только тогда, когда каждая из них равна 1, а правая часть равна 1 лишь при \(x = 0\).
Проверка: при \(x = 0\) левая часть равна \(|0 + 1| - |0| = 1\), правая — \(\sqrt{0 + 1} = 1\). Значит, \(x = 0\) — корень уравнения, и других корней нет.
Ответ: 0.
Решите уравнение \(|x + 1| - |x| = \sqrt{x^4 + 1}\).
Выражение \(x^4 + 1\) положительно при любом \(x\), поэтому областью определения уравнения является множество \(\mathbf{R}\). Оценим каждую часть уравнения.
Раскроем модули в левой части на каждом из промежутков, на которые числа \(-1\) и 0 разбивают числовую прямую.
Если \(x < -1\), то \(|x + 1| - |x| = -(x + 1) + x = -1\).
Если \(-1 \leqslant x < 0\), то \(|x + 1| - |x| = (x + 1) + x = 2x + 1\), а из \(x < 0\) следует \(2x + 1 < 1\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x + 1| - |x| = (x + 1) - x = 1\).
Значит, при всех \(x\) выполняется неравенство \(|x + 1| - |x| \leqslant 1\).
Для правой части при любом \(x\) имеем \(x^4 \geqslant 0\), поэтому \(x^4 + 1 \geqslant 1\) и \(\sqrt{x^4 + 1} \geqslant 1\), причём равенство \(\sqrt{x^4 + 1} = 1\) выполняется только при \(x = 0\).
Таким образом, для любого \(x\) верно \(|x + 1| - |x| \leqslant 1 \leqslant \sqrt{x^4 + 1}\), поэтому части уравнения могут быть равны только тогда, когда каждая из них равна 1. Правая часть равна 1 лишь при \(x = 0\).
Проверка: при \(x = 0\) левая часть равна \(|0 + 1| - |0| = 1\), правая часть равна \(\sqrt{0 + 1} = 1\). Значит, \(x = 0\) — корень уравнения, и других корней нет.
Ответ: 0.
