Страница 50 номер 5.27, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите: 1) \(\min\limits_{\mathbf{R}} (|x - 1| + |x - 3|)\); 2) \(\max\limits_{\mathbf{R}} (|x + 2| - |x|)\); 3) \(\max\limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{x^2 + 1}\).
1) Если \(x < 1\), то \(|x - 1| + |x - 3| = (1 - x) + (3 - x) = 4 - 2x > 2\).
Если \(1 \leqslant x \leqslant 3\), то \(|x - 1| + |x - 3| = (x - 1) + (3 - x) = 2\).
Если \(x > 3\), то \(|x - 1| + |x - 3| = (x - 1) + (x - 3) = 2x - 4 > 2\).
При всех \(x\) значение выражения не меньше 2, а при \(x = 2\) оно равно 2: \(\min\limits_{\mathbf{R}} (|x - 1| + |x - 3|) = 2\).
2) Если \(x < -2\), то \(|x + 2| - |x| = -(x + 2) + x = -2\).
Если \(-2 \leqslant x < 0\), то \(|x + 2| - |x| = (x + 2) + x = 2x + 2 < 2\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x + 2| - |x| = (x + 2) - x = 2\).
При всех \(x\) значение выражения не больше 2, а при \(x = 0\) оно равно 2: \(\max\limits_{\mathbf{R}} (|x + 2| - |x|) = 2\).
3) \(x^2 + 1 \geqslant 1 > 0\) при любом \(x\), поэтому \(\frac{1}{x^2 + 1} \leqslant \frac{1}{1} = 1\), а при \(x = 0\) значение дроби равно 1.
\(\max\limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{x^2 + 1} = 1\).
Ответ: 1) \(\min\limits_{\mathbf{R}} (|x - 1| + |x - 3|) = 2\); 2) \(\max\limits_{\mathbf{R}} (|x + 2| - |x|) = 2\); 3) \(\max\limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{x^2 + 1} = 1\).
Найдите: 1) \(\min\limits_{\mathbf{R}} (|x - 1| + |x - 3|)\); 2) \(\max\limits_{\mathbf{R}} (|x + 2| - |x|)\); 3) \(\max\limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{x^2 + 1}\).
1) Раскроем модули на каждом из промежутков, на которые числа 1 и 3 разбивают числовую прямую.
Если \(x < 1\), то \(|x - 1| + |x - 3| = (1 - x) + (3 - x) = 4 - 2x\), а из \(x < 1\) следует \(4 - 2x > 2\).
Если \(1 \leqslant x \leqslant 3\), то \(|x - 1| + |x - 3| = (x - 1) + (3 - x) = 2\).
Если \(x > 3\), то \(|x - 1| + |x - 3| = (x - 1) + (x - 3) = 2x - 4\), а из \(x > 3\) следует \(2x - 4 > 2\).
При всех \(x\) значение выражения не меньше 2, а при \(x = 2\) оно равно 2. Значит, \(\min\limits_{\mathbf{R}} (|x - 1| + |x - 3|) = 2\).
2) Раскроем модули на каждом из промежутков, на которые числа \(-2\) и 0 разбивают числовую прямую.
Если \(x < -2\), то \(|x + 2| - |x| = -(x + 2) + x = -2\).
Если \(-2 \leqslant x < 0\), то \(|x + 2| - |x| = (x + 2) + x = 2x + 2\), а из \(x < 0\) следует \(2x + 2 < 2\).
Если \(x \geqslant 0\), то \(|x + 2| - |x| = (x + 2) - x = 2\).
При всех \(x\) значение выражения не больше 2, а при \(x = 0\) оно равно 2. Значит, \(\max\limits_{\mathbf{R}} (|x + 2| - |x|) = 2\).
3) При любом \(x\) выполняется \(x^2 \geqslant 0\), поэтому \(x^2 + 1 \geqslant 1 > 0\). Дробь с положительным числителем тем меньше, чем больше её положительный знаменатель, значит, \(\frac{1}{x^2 + 1} \leqslant \frac{1}{1} = 1\). При \(x = 0\) значение дроби равно 1.
Значит, \(\max\limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{x^2 + 1} = 1\).
Ответ: 1) \(\min\limits_{\mathbf{R}} (|x - 1| + |x - 3|) = 2\); 2) \(\max\limits_{\mathbf{R}} (|x + 2| - |x|) = 2\); 3) \(\max\limits_{\mathbf{R}} \frac{1}{x^2 + 1} = 1\).
