Страница 50 номер 5.26, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(y = 5x^2 - x + 1\); 2) \(y = \frac{2x - 1}{5x + 4}\); 3) \(y = 4x + \frac{1}{x}\).
1) \(5x^2 - x + 1 = a\); \(5x^2 - x + 1 - a = 0\) — квадратное, корни есть при \(D \geqslant 0\).
\(D = 1 - 4 \cdot 5 \cdot (1 - a) = 1 - 20 + 20a = 20a - 19\).
\(20a - 19 \geqslant 0\); \(20a \geqslant 19\); \(a \geqslant \frac{19}{20}\).
\(E(y) = \left[\frac{19}{20};\ +\infty\right)\).
2) Дробь имеет смысл при \(5x + 4 \ne 0\), то есть при \(x \ne -\frac{4}{5}\).
\(\frac{2x - 1}{5x + 4} = a\); \(2x - 1 = a(5x + 4)\); \(2x - 5ax = 4a + 1\); \(x(2 - 5a) = 4a + 1\).
При \(a = \frac{2}{5}\) равенство принимает вид \(0 \cdot x = \frac{13}{5}\) и не выполняется ни при каком \(x\): число \(\frac{2}{5}\) в область значений не входит.
При \(a \ne \frac{2}{5}\) получаем \(x = \frac{4a + 1}{2 - 5a}\), и этот корень не равен \(-\frac{4}{5}\): из равенства \(\frac{4a + 1}{2 - 5a} = -\frac{4}{5}\) следовало бы \(5(4a + 1) = -4(2 - 5a)\), то есть \(20a + 5 = 20a - 8\), что невозможно.
\(E(y) = \left(-\infty;\ \frac{2}{5}\right) \cup \left(\frac{2}{5};\ +\infty\right)\).
3) Выражение имеет смысл при \(x \ne 0\).
После умножения обеих частей уравнения \(4x + \frac{1}{x} = a\) на \(x \ne 0\): \(4x^2 + 1 = ax\); \(4x^2 - ax + 1 = 0\). Число 0 корнем быть не может: при \(x = 0\) левая часть равна 1.
Уравнение квадратное, корни есть при \(D \geqslant 0\): \(D = a^2 - 16\); \(a^2 \geqslant 16\); \(|a| \geqslant 4\), то есть \(a \leqslant -4\) или \(a \geqslant 4\).
\(E(y) = (-\infty;\ -4] \cup [4;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(\left[\frac{19}{20};\ +\infty\right)\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{2}{5}\right) \cup \left(\frac{2}{5};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -4] \cup [4;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции: 1) \(y = 5x^2 - x + 1\); 2) \(y = \frac{2x - 1}{5x + 4}\); 3) \(y = 4x + \frac{1}{x}\).
1) Пусть \(a\) — произвольный элемент области значений функции, то есть \(a \in E(y)\). Тогда задача сводится к нахождению всех значений \(a\), при которых уравнение \(5x^2 - x + 1 = a\) имеет решения.
Это уравнение равносильно такому: \(5x^2 - x + 1 - a = 0\). Оно квадратное, и наличие корней определяется условием \(D \geqslant 0\).
Имеем: \(D = 1 - 4 \cdot 5 \cdot (1 - a) = 1 - 20 + 20a = 20a - 19\).
Решим неравенство \(20a - 19 \geqslant 0\): \(20a \geqslant 19\); \(a \geqslant \frac{19}{20}\).
Значит, \(E(y) = \left[\frac{19}{20};\ +\infty\right)\).
2) Дробь имеет смысл при \(5x + 4 \ne 0\), то есть при \(x \ne -\frac{4}{5}\).
Пусть \(a \in E(y)\). Тогда уравнение \(\frac{2x - 1}{5x + 4} = a\) имеет решения. Оно равносильно уравнению \(2x - 1 = a(5x + 4)\), откуда \(2x - 5ax = 4a + 1\) и \(x(2 - 5a) = 4a + 1\).
При \(a = \frac{2}{5}\) равенство принимает вид \(0 \cdot x = \frac{13}{5}\) и не выполняется ни при каком \(x\), значит, число \(\frac{2}{5}\) в область значений не входит.
При \(a \ne \frac{2}{5}\) получаем \(x = \frac{4a + 1}{2 - 5a}\). Этот корень не равен \(-\frac{4}{5}\): из равенства \(\frac{4a + 1}{2 - 5a} = -\frac{4}{5}\) следовало бы \(5(4a + 1) = -4(2 - 5a)\), то есть \(20a + 5 = 20a - 8\), что невозможно. Значит, каждое число \(a \ne \frac{2}{5}\) принадлежит области значений.
Значит, \(E(y) = \left(-\infty;\ \frac{2}{5}\right) \cup \left(\frac{2}{5};\ +\infty\right)\).
3) Выражение имеет смысл при \(x \ne 0\).
Пусть \(a \in E(y)\). Тогда уравнение \(4x + \frac{1}{x} = a\) имеет решения. Умножив обе части на \(x \ne 0\), получаем равносильное уравнение \(4x^2 + 1 = ax\), то есть \(4x^2 - ax + 1 = 0\). Число 0 его корнем быть не может: при \(x = 0\) левая часть равна 1.
Уравнение квадратное, и наличие корней определяется условием \(D \geqslant 0\). Имеем: \(D = a^2 - 16\). Решим неравенство \(a^2 - 16 \geqslant 0\): \(a^2 \geqslant 16\); \(|a| \geqslant 4\), то есть \(a \leqslant -4\) или \(a \geqslant 4\).
Значит, \(E(y) = (-\infty;\ -4] \cup [4;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(\left[\frac{19}{20};\ +\infty\right)\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{2}{5}\right) \cup \left(\frac{2}{5};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -4] \cup [4;\ +\infty)\).
