Страница 50 номер 5.25, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область значений функции: 1) \(y = -2x^2 + 3x - 4\); 2) \(y = \frac{3x + 1}{2x + 3}\); 3) \(y = \frac{x}{x^2 - 1}\).
1) \(-2x^2 + 3x - 4 = a\); \(2x^2 - 3x + 4 + a = 0\) — квадратное, корни есть при \(D \geqslant 0\).
\(D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (4 + a) = 9 - 32 - 8a = -23 - 8a\).
\(-23 - 8a \geqslant 0\); \(8a \leqslant -23\); \(a \leqslant -\frac{23}{8}\).
\(E(y) = \left(-\infty;\ -\frac{23}{8}\right]\).
2) Дробь имеет смысл при \(2x + 3 \ne 0\), то есть при \(x \ne -\frac{3}{2}\).
\(\frac{3x + 1}{2x + 3} = a\); \(3x + 1 = a(2x + 3)\); \(3x - 2ax = 3a - 1\); \(x(3 - 2a) = 3a - 1\).
При \(a = \frac{3}{2}\) равенство принимает вид \(0 \cdot x = \frac{7}{2}\) и не выполняется ни при каком \(x\): число \(\frac{3}{2}\) в область значений не входит.
При \(a \ne \frac{3}{2}\) получаем \(x = \frac{3a - 1}{3 - 2a}\), и этот корень не равен \(-\frac{3}{2}\): из равенства \(\frac{3a - 1}{3 - 2a} = -\frac{3}{2}\) следовало бы \(2(3a - 1) = -3(3 - 2a)\), то есть \(6a - 2 = 6a - 9\), что невозможно.
\(E(y) = \left(-\infty;\ \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\).
3) Дробь имеет смысл при \(x^2 - 1 \ne 0\), то есть при \(x \ne -1\) и \(x \ne 1\).
\(\frac{x}{x^2 - 1} = a\); \(x = a(x^2 - 1)\); \(ax^2 - x - a = 0\).
При \(a = 0\) корень \(x = 0\) входит в область определения, значит, число 0 входит в область значений.
При \(a \ne 0\) уравнение квадратное и \(D = 1 + 4a^2 > 0\) при любом \(a\), поэтому корни есть; ни один из них не равен \(-1\) или 1: при \(x = 1\) левая часть равна \(a - 1 - a = -1\), а при \(x = -1\) она равна \(a + 1 - a = 1\), и в обоих случаях отлична от нуля.
\(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ -\frac{23}{8}\right]\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ +\infty)\).
Найдите область значений функции: 1) \(y = -2x^2 + 3x - 4\); 2) \(y = \frac{3x + 1}{2x + 3}\); 3) \(y = \frac{x}{x^2 - 1}\).
1) Пусть \(a\) — произвольный элемент области значений функции, то есть \(a \in E(y)\). Тогда задача сводится к нахождению всех значений \(a\), при которых уравнение \(-2x^2 + 3x - 4 = a\) имеет решения.
Это уравнение равносильно такому: \(2x^2 - 3x + 4 + a = 0\). Оно квадратное, и наличие корней определяется условием \(D \geqslant 0\).
Имеем: \(D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (4 + a) = 9 - 32 - 8a = -23 - 8a\).
Решим неравенство \(-23 - 8a \geqslant 0\): \(8a \leqslant -23\); \(a \leqslant -\frac{23}{8}\).
Значит, \(E(y) = \left(-\infty;\ -\frac{23}{8}\right]\).
2) Дробь имеет смысл при \(2x + 3 \ne 0\), то есть при \(x \ne -\frac{3}{2}\).
Пусть \(a \in E(y)\). Тогда уравнение \(\frac{3x + 1}{2x + 3} = a\) имеет решения. Оно равносильно уравнению \(3x + 1 = a(2x + 3)\), откуда \(3x - 2ax = 3a - 1\) и \(x(3 - 2a) = 3a - 1\).
При \(a = \frac{3}{2}\) равенство принимает вид \(0 \cdot x = \frac{7}{2}\) и не выполняется ни при каком \(x\), значит, число \(\frac{3}{2}\) в область значений не входит.
При \(a \ne \frac{3}{2}\) получаем \(x = \frac{3a - 1}{3 - 2a}\). Этот корень не равен \(-\frac{3}{2}\): из равенства \(\frac{3a - 1}{3 - 2a} = -\frac{3}{2}\) следовало бы \(2(3a - 1) = -3(3 - 2a)\), то есть \(6a - 2 = 6a - 9\), что невозможно. Значит, каждое число \(a \ne \frac{3}{2}\) принадлежит области значений.
Значит, \(E(y) = \left(-\infty;\ \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\).
3) Дробь имеет смысл при \(x^2 - 1 \ne 0\), то есть при \(x \ne -1\) и \(x \ne 1\).
Пусть \(a \in E(y)\). Тогда уравнение \(\frac{x}{x^2 - 1} = a\) имеет решения. Оно равносильно уравнению \(x = a(x^2 - 1)\), то есть \(ax^2 - x - a = 0\).
Если \(a = 0\), то полученное уравнение имеет корень \(x = 0\), и этот корень входит в область определения. Следовательно, число 0 входит в область значений функции.
Если \(a \ne 0\), то уравнение квадратное и \(D = 1 + 4a^2 > 0\) при любом \(a\), поэтому корни есть. Ни один из них не равен \(-1\) или 1: при \(x = 1\) левая часть уравнения равна \(a - 1 - a = -1\), а при \(x = -1\) она равна \(a + 1 - a = 1\), и в обоих случаях значение отлично от нуля. Значит, каждое число \(a \ne 0\) также входит в область значений.
Значит, \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\).
Ответ: 1) \(\left(-\infty;\ -\frac{23}{8}\right]\); 2) \(\left(-\infty;\ \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ +\infty)\).
