Страница 50 номер 5.24, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) нечётная, \(\min\limits_{[2;\ 5]} f(x) = 1\) и \(\max\limits_{[2;\ 5]} f(x) = 3\). Найдите \(\min\limits_{[-5;\ -2]} f(x)\), \(\max\limits_{[-5;\ -2]} f(x)\).
Если \(x \in [-5;\ -2]\), то \(-x \in [2;\ 5]\), и наоборот; функция нечётная, поэтому \(f(x) = -f(-x)\).
По условию \(1 \leqslant f(t) \leqslant 3\) на отрезке \([2;\ 5]\), поэтому для \(x \in [-5;\ -2]\) имеем \(1 \leqslant f(-x) \leqslant 3\) и \(-3 \leqslant f(x) \leqslant -1\).
Обе границы достигаются: \(f(-t_1) = -f(t_1) = -3\) при \(f(t_1) = 3\) и \(f(-t_0) = -f(t_0) = -1\) при \(f(t_0) = 1\), где \(t_0\) и \(t_1\) — числа отрезка \([2;\ 5]\).
\(\min\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -3\), \(\max\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -1\).
Ответ: \(\min\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -3\), \(\max\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -1\).
Функция \(f\) нечётная, \(\min\limits_{[2;\ 5]} f(x) = 1\) и \(\max\limits_{[2;\ 5]} f(x) = 3\). Найдите \(\min\limits_{[-5;\ -2]} f(x)\), \(\max\limits_{[-5;\ -2]} f(x)\).
Если \(x \in [-5;\ -2]\), то \(-x \in [2;\ 5]\), и наоборот. Функция \(f\) нечётная, поэтому \(f(x) = -f(-x)\).
По условию для всех \(t \in [2;\ 5]\) выполняется \(1 \leqslant f(t) \leqslant 3\). Значит, для любого \(x \in [-5;\ -2]\) имеем \(1 \leqslant f(-x) \leqslant 3\), а тогда \(-3 \leqslant -f(-x) \leqslant -1\), то есть \(-3 \leqslant f(x) \leqslant -1\).
Существует такое \(t_1 \in [2;\ 5]\), что \(f(t_1) = 3\); тогда \(-t_1 \in [-5;\ -2]\) и \(f(-t_1) = -f(t_1) = -3\). Значит, \(\min\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -3\).
Существует такое \(t_0 \in [2;\ 5]\), что \(f(t_0) = 1\); тогда \(-t_0 \in [-5;\ -2]\) и \(f(-t_0) = -f(t_0) = -1\). Значит, \(\max\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -1\).
Ответ: \(\min\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -3\), \(\max\limits_{[-5;\ -2]} f(x) = -1\).
