Страница 50 номер 5.23, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Функция \(f\) чётная, \(\min\limits_{[1;\ 3]} f(x) = 2\) и \(\max\limits_{[1;\ 3]} f(x) = 5\). Найдите \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x)\), \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x)\).
Если \(x \in [-3;\ -1]\), то \(-x \in [1;\ 3]\), и наоборот; функция чётная, поэтому \(f(x) = f(-x)\).
По условию \(f(t) \geqslant 2\) для всех \(t \in [1;\ 3]\) и \(f(t_0) = 2\) для некоторого \(t_0 \in [1;\ 3]\). Тогда \(f(x) = f(-x) \geqslant 2\) для всех \(x \in [-3;\ -1]\), а для числа \(-t_0 \in [-3;\ -1]\) имеем \(f(-t_0) = f(t_0) = 2\): \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 2\).
Аналогично \(f(t) \leqslant 5\) на отрезке \([1;\ 3]\) и \(f(t_1) = 5\) для некоторого \(t_1 \in [1;\ 3]\). Тогда \(f(x) \leqslant 5\) на отрезке \([-3;\ -1]\), а \(f(-t_1) = f(t_1) = 5\): \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 5\).
Ответ: \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 2\), \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 5\).
Функция \(f\) чётная, \(\min\limits_{[1;\ 3]} f(x) = 2\) и \(\max\limits_{[1;\ 3]} f(x) = 5\). Найдите \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x)\), \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x)\).
Если \(x \in [-3;\ -1]\), то \(-x \in [1;\ 3]\), и наоборот. Функция \(f\) чётная, поэтому \(f(x) = f(-x)\).
По условию \(\min\limits_{[1;\ 3]} f(x) = 2\), то есть \(f(t) \geqslant 2\) для всех \(t \in [1;\ 3]\) и существует такое \(t_0 \in [1;\ 3]\), что \(f(t_0) = 2\). Тогда для любого \(x \in [-3;\ -1]\) имеем \(f(x) = f(-x) \geqslant 2\), так как \(-x \in [1;\ 3]\); при этом число \(-t_0\) принадлежит отрезку \([-3;\ -1]\) и \(f(-t_0) = f(t_0) = 2\). Значит, \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 2\).
По условию \(\max\limits_{[1;\ 3]} f(x) = 5\), то есть \(f(t) \leqslant 5\) для всех \(t \in [1;\ 3]\) и существует такое \(t_1 \in [1;\ 3]\), что \(f(t_1) = 5\). Тогда для любого \(x \in [-3;\ -1]\) имеем \(f(x) = f(-x) \leqslant 5\), а для числа \(-t_1 \in [-3;\ -1]\) получаем \(f(-t_1) = f(t_1) = 5\). Значит, \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 5\).
Ответ: \(\min\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 2\), \(\max\limits_{[-3;\ -1]} f(x) = 5\).
