Страница 50 номер 5.20, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Нечётная функция \(f\) имеет 4 нуля. Докажите, что \(0 \notin D(f)\).
Область определения нечётной функции симметрична относительно начала координат: если \(a\) — нуль функции и \(a \ne 0\), то \(-a \in D(f)\) и \(f(-a) = -f(a) = 0\), то есть \(-a\) — тоже нуль, причём \(-a \ne a\). Значит, отличные от нуля нули разбиваются на пары противоположных чисел, и их количество чётно.
Предположим, что \(0 \in D(f)\). Тогда \(f(0) = -f(0)\), откуда \(f(0) = 0\): число 0 — тоже нуль функции, и всех нулей нечётное количество. Но по условию их 4 — число чётное.
Полученное противоречие показывает, что \(0 \notin D(f)\).
Ответ: если бы число 0 входило в область определения, то нулей функции было бы нечётное количество, а их 4, поэтому \(0 \notin D(f)\).
Нечётная функция \(f\) имеет 4 нуля. Докажите, что \(0 \notin D(f)\).
Область определения нечётной функции симметрична относительно начала координат.
Пусть \(a\) — нуль функции \(f\), причём \(a \ne 0\). Тогда \(-a \in D(f)\) и \(f(-a) = -f(a) = 0\), то есть число \(-a\) — тоже нуль функции \(f\), и при этом \(-a \ne a\). Значит, отличные от нуля нули функции \(f\) разбиваются на пары противоположных чисел, поэтому их количество чётно.
Предположим, что \(0 \in D(f)\). Тогда \(f(-0) = -f(0)\), то есть \(f(0) = -f(0)\), откуда \(f(0) = 0\), и число 0 — тоже нуль функции. Всех нулей в этом случае на один больше, чем чётное количество отличных от нуля нулей, то есть количество нулей нечётно. Но по условию нулей 4, а 4 — число чётное.
Полученное противоречие показывает, что предположение неверно, значит, \(0 \notin D(f)\).
Ответ: если бы число 0 входило в область определения, то нулей функции было бы нечётное количество, а их 4, поэтому \(0 \notin D(f)\).
