Страница 50 номер 5.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Нечётная функция \(f\) имеет 7 нулей. Найдите \(f(0)\).
Область определения нечётной функции симметрична относительно начала координат: если \(a\) — нуль функции и \(a \ne 0\), то \(-a \in D(f)\) и \(f(-a) = -f(a) = 0\), то есть \(-a\) — тоже нуль, причём \(-a \ne a\). Значит, отличные от нуля нули разбиваются на пары противоположных чисел, и их количество чётно.
Нулей 7 — число нечётное, поэтому нулём функции является и число 0: \(0 \in D(f)\) и \(f(0) = 0\).
Ответ: \(f(0) = 0\).
Нечётная функция \(f\) имеет 7 нулей. Найдите \(f(0)\).
Область определения нечётной функции симметрична относительно начала координат.
Пусть \(a\) — нуль функции \(f\), причём \(a \ne 0\). Тогда \(-a \in D(f)\) и \(f(-a) = -f(a) = 0\), то есть число \(-a\) — тоже нуль функции \(f\), и при этом \(-a \ne a\). Значит, отличные от нуля нули функции \(f\) разбиваются на пары противоположных чисел, поэтому их количество чётно.
Если бы число 0 не было нулём функции, то все 7 нулей были бы отличны от нуля и их количество было бы чётным. Но 7 — число нечётное. Значит, число 0 является нулём функции, то есть \(0 \in D(f)\) и \(f(0) = 0\).
Ответ: \(f(0) = 0\).
