Страница 48 номер 5.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \frac{x}{|x| - 7}\); 2) \(f(x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 2}} + \frac{4x - 3}{x^2 - 7x + 6}\).
1) \(f(x) = \frac{x}{|x| - 7}\).
\(|x| - 7 \ne 0\), то есть \(|x| \ne 7\), откуда \(x \ne -7\) и \(x \ne 7\).
\[D(f) = (-\infty;\ -7) \cup (-7;\ 7) \cup (7;\ +\infty).\]
2) \(f(x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 2}} + \frac{4x - 3}{x^2 - 7x + 6}\).
Корень стоит в знаменателе, поэтому \(x + 2 > 0\):
\[\begin{cases} x - 4 \geqslant 0, \\ x + 2 > 0, \\ x^2 - 7x + 6 \ne 0. \end{cases}\]
Корни трёхчлена \(x^2 - 7x + 6\) — числа 1 и 6:
\[\begin{cases} x \geqslant 4, \\ x > -2, \\ x \ne 1, \\ x \ne 6. \end{cases}\]
Первым двум неравенствам вместе удовлетворяет промежуток \([4;\ +\infty)\), число 1 в него не входит, остаётся исключить число 6.
\[D(f) = [4;\ 6) \cup (6;\ +\infty).\]
Ответ: 1) \((-\infty;\ -7) \cup (-7;\ 7) \cup (7;\ +\infty)\); 2) \([4;\ 6) \cup (6;\ +\infty)\).
Найдите область определения функции: 1) \(f(x) = \frac{x}{|x| - 7}\); 2) \(f(x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 2}} + \frac{4x - 3}{x^2 - 7x + 6}\).
1) \(f(x) = \frac{x}{|x| - 7}\).
Выражение имеет смысл при всех значениях \(x\), при которых знаменатель дроби отличен от нуля: \(|x| - 7 \ne 0\), то есть \(|x| \ne 7\), откуда \(x \ne -7\) и \(x \ne 7\).
\[D(f) = (-\infty;\ -7) \cup (-7;\ 7) \cup (7;\ +\infty).\]
2) \(f(x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 2}} + \frac{4x - 3}{x^2 - 7x + 6}\).
Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение числителя первой дроби неотрицательно, подкоренное выражение её знаменателя положительно (корень стоит в знаменателе, а на нуль делить нельзя) и знаменатель второй дроби отличен от нуля:
\[\begin{cases} x - 4 \geqslant 0, \\ x + 2 > 0, \\ x^2 - 7x + 6 \ne 0. \end{cases}\]
Корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 7x + 6\) — числа 1 и 6, поэтому третье условие означает, что \(x \ne 1\) и \(x \ne 6\). Система принимает вид:
\[\begin{cases} x \geqslant 4, \\ x > -2, \\ x \ne 1, \\ x \ne 6. \end{cases}\]
Первым двум неравенствам вместе удовлетворяют числа промежутка \([4;\ +\infty)\), и число 1 в него не входит. Остаётся исключить число 6.
\[D(f) = [4;\ 6) \cup (6;\ +\infty).\]
Ответ: 1) \((-\infty;\ -7) \cup (-7;\ 7) \cup (7;\ +\infty)\); 2) \([4;\ 6) \cup (6;\ +\infty)\).
